Машина Атвуда

Прилад

Маши́на А́твуда — прилад для проведення лабораторних експериментів для перевірки механічних законів руху з незмінним прискоренням. Названа на честь винахідника Джорджа Атвуда.

Зображення машини Атвуда, 1905.

Ідеальна машина Атвуда складається з двох об'єктів мас m1 і m2, пов'язаних нерозтяжною, невагомою ниттю перекинутою через ідеальний невагомий блок. [1]

Коли m1 = m2, машина перебуває в байдужій рівновазі незалежно від положення вантажів.

Коли m1 ≠ m2 обидві маси зазнають прискорення.

Вираз для сталого прискоренняРедагувати

 
Діаграми вільних тіл для двох вислих мас машини Атвуда. Наша домовленість про знаки, виражена через вектори прискорення, така, що m1 прискорюється додолу, а m2 догори, як було б у випадку коли m1 > m2

Ми можемо отримати рівняння для прискорення через використання аналізу сил. Якщо ми розглядаємо невагому, нерозтяжну нить і ідеальний невагомий блок, сили які ми повинні врахувати то: сила розтягу (T) і вагу обох мас (W1 і W2). Для обчислення пришвидшення нам треба розглянути сили, що впливають на кожен вантаж індивідуально. Використовуючи другий закон Ньютона (за умови  ) ми можемо вивести систему рівнянь для прискорення (a).

Ми прийняли, що для   a додатне коли спрямоване додолу, а для   коли догори. Ваги   і   це просто   і   відповідно.

Сили, що впливають на m1:

 

Сили, що впливають на m2:

 

додаючи два попередні рівняння отримуємо

 ,

і наша заключна формула для прискорення

 

Також прискорення спричинене гравітацією можна знайти вимірявши час руху вагів, і обчисливши значення для постійного прискорення a:  .

Машину Атвуда іноді використовують для ілюстрації методу Лагранжа отримання рівняння руху. [2]

Рівняння для розтягуРедагувати

 
Математична модель хитної машини Атвуда

Може бути корисним знати рівняння для ниті. Для обчислення розтягу ми підставляємо рівняння для прискорення в одне з двох силових рівнянь.

 

Наприклад, підставляючи в  , ми отримуємо

 

Рівняння для блока з інерцією і тертямРедагувати

Для дуже малих різниць між m1 і m2, обертовою інерцією I блока радіуса r не можна знехтувати. Кутове прискорення блока за умови, що нить не проковзує по блоку таке:

 

де   це кутове прискорення. Тоді сумарний крутильний момент:

 

Комбінуючи з другим законом Ньютона для вислих мас, і розв'язуючи для T1, T2 і a, ми маємо:

Прискорення:

 

Розтяг в сегмент ниті поблизу m1:

 

Розтяг в сегмент ниті поблизу m2:

 

Якщо тертя вальниці дуже мале (але не інерція блока), ці рівняння спрощуються до такого вигляду:

 
Вагончики Київського фунікулера

Прискорення:

 

Розтяг в сегмент ниті поблизу m1:

 

Розтяг в сегмент ниті поблизу m2:

 

Практичне застосуванняРедагувати

Ліфти використовують противагу, нагадуючи машину Атвуда, і таким чином звільняють тяговий мотор від навантаження необхідного для підтримки кабіни ліфта, тож мотору потрібно подолати лише різницю у вазі та інерцію двох мас. Цей самий принцип перейняли у фунікулерах, де використовують два вагони на похилих коліях.

ПриміткиРедагувати

  1. Tipler, Paul A. (1991). Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160.
  2. Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27.