Многочлен від матриці

Многочлен від матриці — многочлен, в якому квадратна матриця є його змінною.

Якщо задано многочлен скалярної змінної $x$:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},$

то підставивши замість скалярної змінної матрицю $A$ отримаємо:

$P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},$

де $I$ — одинична матриця.

Властивості

• Якщо матриці $A$ і $B$ — подібні матриці ($B=P^{-1}AP$), то $p(A)$ і $p(B)$ теж подібні матриці.

Анулюючий та мінімальний многочлени матриці

• Многочлен p називається анулюючим многочленом матриці $A$, якщо $p(A)$ є нульовою матрицею.
• Нормований многочлен $p$ називається мінімальним многочленом матриці $A$, якщо $p(A)$ є її анулюючим многочленом мінімального степеня.
• Всі анулюючі многочлени матриці $A$ мають дільником мінімальний многочлен матриці $A$.
• Мінімальний многочлен матриці $A$ порядку $n$ має степінь $m\leq n$.
• Мінімальний многочлен степеня $m\leq n$ матриці $A$, дозволяє виразити $A^{m},A^{m+1},\ldots$ через многочлени матриці $A$ степенів $\leq m-1$.

Теорема Гамільтона — Келі

Теорема Гамільтона — Келі: характеристичний многочлен матриці $A$ є її анулюючим многочленом.

Функція від матриці

Багато аналітичних функцій означаються для матричного аргумента з використанням їхнього ряду Тейлора, на основі наступної властивості.

Для заданих многочленів $P$ та $Q$, рівність $P(A)=Q(A)$ досягається тоді й лише тоді, якщо

$P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{для }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ та }}i=1,\ldots ,s,$

де $P^{(j)}$ позначає $j$-ту похідну $P$ та $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}$ є власними значеннями $A$ з відповідними кратностями $n_{1},\dots ,n_{s}$ (кратність власного значення рівна його блоку Жордана).

Див. також

• Матриця многочленів
• Матрична функція

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations. — 4. — М: : The Johns Hopkins University Press, 2013. — 756 с.(англ.)