Математика доісторичного періоду

Вважається, що математика, як наука, з'явилася в Стародавній Греції в VI-V ст. до нашої ери. Ще до цього шумери і стародавні єгиптяни відкрили досвідченим шляхом деякі математичні закономірності і вміли застосовувати їх на практиці. Вони вміли рахувати кількість та обсяг зерна в коморах, виконувати розрахунки з грошима, розмічати земельні ділянки з певною площею. Можливо, вони використовували математичні підрахунки при будівництві грандіозних пірамід та зиккуратів.

До нас дійшли глиняні таблички й папіруси з різними розрахунками. Найбільш відомий папірус, складений писарем Ахмесом, як посібник-довідник для інших. Там описані способи виконання арифметичних операцій, розрахунків з геометричними фігурами і наведено приклади вирішення практичних завдань.

Завдяки таким текстам можна скласти досить широке уявлення про давньоєгипетської або який-небудь інший математики. Набагато важче йдуть справи з ранньою епохою розвитку людства, коли писемності ще не було — доісторичним періодом. Саме тоді з'явилося те, що зараз природно для будь-якої людини і на чому ґрунтується вся математика — навички рахунку, абстрактні поняття числа і фігури, назви чисел. Зараз вже дитиною все стикаються з цими поняттями, чуючи, як вважають дорослі, і відповідаючи на питання: «Скільки тобі років?». Але для первісних людей вони були такими ж абстрактними, як для сучасних людей поняття числової змінної. У свідомості первісної людини не існувало слова «два». Могло бути два дерева, два каное, дві собаки, дві людини, але такої речі, як просто 2, само по собі, не було. Великий ряд простих для нас речей є розумовою завоюванням первісної людини.

Джерела знаньРедагувати

Яким чином можна отримати інформацію про ту епоху, коли ще не з'явилася писемність? Справа в тому, що не всі культури здійснюють науково-технічний прогрес з однаковою швидкістю. Багато в якійсь мірі зберегли племінний устрій і давні звичаї, за якими ми можемо судити про їх далекому минулому.

На жаль, європейські колонізатори ставилися до таких культур дуже варварськи, не завжди поважаючи їхні традиції. Багато були знищені, іншим довелося вбудовуватися в існуючий політико-економічний устрій. Тільки в двадцятому столітті було остаточно усвідомлено, вони можуть представляти для історії первісного світу.

З'являється розділ науки — этноматематика [1], вивчає математику, як частина традиційної культури. Європейці починають цікавитися, як вважають, показують, називають і записують числа первісні народи.

Певні відомості дають археологічні розкопки. На стоянці Ишанго в Африці була знайдена кістка з рахунковими карбами, що має величезний вік і тому дала багатий матеріал для роздумів[1].

Якщо систематизувати отримані в результаті этноматематических і археологічних досліджень знання, можна приблизно відтворити процес виникнення математики.

 
Зарубки на кістки (англ. Ishango bone), що відображають рахунок, знайдені біля озера Едуард на стоянці Ишанго і мають вік понад 30 тисяч років

Етапи розвитку рахункуРедагувати

Чуттєвий рахунокРедагувати

Коли качка плаває з каченятами по ставку, вона оглядає весь виводок поглядом і якщо когось не вистачає, приймається кликати його. При цьому вона аж ніяк не вважає каченят, у поширеному розумінні цього слова.

Такий чуттєвий рахунок був доступний і першим людям і залишився у деяких племен донині. Так, мисливці з дикого племені індіанців, у яких є назви тільки для чисел 1, 2 і 3, можуть перед полюванням окинути поглядом численну зграю собак і якщо не вистачає хоча б одного, помічають це і починають кликати її[2][3].

Встановлення взаємно-однозначної відповідностіРедагувати

Якщо перед нами лежить набір з восьми каменів і набір з восьми черепашок, ми можемо розкласти їх так, щоб навпроти кожного каменю лежало по одній мушлі. Саме так відбувався процес торгівлі між двома первісними племенами. Навпроти кожного товару від першого племені клали по одному товару від другого племені і в результаті племена обмінювалися один з одним однаковою кількістю товарів.

Такий процес, коли кожному елементу з одного безлічі (сукупності) ставиться у відповідність один елемент іншої множини в математиці називається встановленням взаємно-однозначної відповідності між двома множинами.

Саме з встановлення взаємно-однозначної відповідності між множиною считаемых предметів та безліччю рахункових еталонів розпочався наступний етап розвитку рахунку.

Часто первісні люди носили з собою спеціальні еталони рахунку — палички або кульки. Незабаром з усіх еталонів вибрали найбільш зручний і який «завжди при собі» — пальці рук і ніг і навіть інші частини тіла.

Щоб запам'ятати скільки тварин він убив на полюванні, первісній людині треба було просто запам'ятати, на якому пальці руки або ноги він зупинив рахунок. Це міг бути другий палець другої ноги, останній палець першої руки і всі пальці. У деяких мовах числа стали так і називатися. Ось приклади:

  • Число 18 мовою одного грендландского племені називається «З іншої ноги три»[4] .
  • Це ж число мовою одного карибського племені називається «Всі мої руки, три, моя рука»[4].
  • Мовою зулусів слово «татизитуна» («взяти великий палець руки») позначає число 6, а слово «у кобмиле» (він вказав, тобто вказівний палець) — 7[2][3] .

Дослідник Нової Гвінеї Н. Н. Миклухо-Маклай запропонував папуасів порахувати число днів до повернення корвета «Витязь», нарізавши для цього смужки паперу.

"Перший, розкладаючи шматочки паперу на коліні, при кожному обрізанні повторював «нарі, нарі» (один); інший повторював слово «нарі» і загинав при цьому палець перш на одній, потім на другій руці. Нарахувавши до десяти і зігнувши пальці обох рук, опустив обидва кулака на коліна промовивши:…"дві руки", причому третій папуас загнув палець руки. З другим десятком було зроблено те ж, причому третій папуас загнув другий палець; теж саме було зроблено для третього десятка; залишилися папірці не становили четвертого десятка і продовжували лежати на боці."[5]

Поняття абстрактного числаРедагувати

Коли мистецтво рахунку поступово розвивалося, поняття числа було невіддільне від считаемых предметів. Число не могло існувати сама по собі. В залежності від того, що вважали, що числа могли називатися по різному. У деяких племен донині існує поділ числівників за типом считаемых об'єктів. Наприклад, у мові племені цимшиан є сім різних типів числівників:

  1. Для рахунку плоских предметів
  2. Для рахунку круглих предметів і поділу часу
  3. Для рахунку людей
  4. Для рахунку довгих предметів
  5. Для рахунку каное
  6. Для заходів
  7. Невизначені числа.[6][3]

Поняття числа самого по собі, відокремленого від предметів з'явилося значно пізніше

Числові системиРедагувати

АдитивніРедагувати

Перші числові системи використовували адитивний принцип, т. е. якомусь кількістю маленьких чисел давалося назва, а назви великих чисел складалися з назв маленьких. У таблиці наведено як приклад система числення племені Гумульгэл, що живе на островах Торресової Протоки і племені Бакаірі.

Система числення племені Гамальгэл Система числення племені Бакаірі
Число Назва Число Назва
1 Урапун 1 токале
2 Окоза 2 ахаге
3 Окоза-урапун 3 ахаге-токале
4 Окоза-окоза 4 ахаге-ахаге
5 Окоза-окоза-урапун 5 ахаге-ахаге-токале
6 Окоза-окоза-окоза 6 ахаге-ахаге-ахаге

Як видно, власні назви мають тільки числа 1 і 2, інші числа мають похідні назви.

СубтрактивныеРедагувати

Більш складні числові системи використовували субтрактівний принцип. Це означає, що назви деяких чисел могли утворюватися шляхом віднімання.

Субтрактівний принцип видно, наприклад, у римській системі нумерації, де число 9 записується, як IX, тобто, як 10-1. Досить складною субтрактівній системою числення з основою 20 користувалося африканське плем'я Йоруба:

Система числення народу Йоруба
Число Название Расшифровка названия Число Название Расшифровка названия
1 kan 1 31 mokonlelogbon +1+30
2 meji 2 32 mejilelogbon +2+30
3 meta 3 33 metalelogbon +3+30
4 merin 4 34 merinlelogbon +4+30
5 maruun 5 35 maruundinlogoji -5+20×2
6 mefa 6 36 merindinlogoji -4+20×2
7 meje 7 37 metadinlogoji -3+20×2
8 mejo 8 38 mejidinlogoji -2+20×2
9 mesan 9 39 mokondinlogoji -1+20×2
10 mewa 10 40 ogoji 20×2
11 mokonlaa +1+10 41 mokonlogoji +1+20×2
12 mejilaa +2+10 42 mejilogoji +2+20×2
13 metalaa +3+10 43 metalogoji +3+20×2
14 merinlaa +4+10 44 merinlogoji +4+20×2
15 meéedogun -5+20 45 maruundinlaàadota -5-10+20×3
16 merindinlogun -4+20 46 merindinlaàadota -4-10+20×3
17 metadinlogun -3+20 47 metadinlaàadota -3-10+20×3
18 mejidinlogun -2+20 48 mejidinlaàadota -2-10+20×3
19 mokondinlogun -1+20 49 mokondinlaàadota -1-10+20×3
20 ogun 20 50 àadota -10+20×3
21 mokonlelogun +1+20 51 mokonlelaàadota +1-10+20×3
22 mejilelogun +2+20 52 mejilaàadota +2-10+20×3
23 metalelogun +3+20 53 metalaàadota +3-10+20-×3
24 merinlelogun +4+20 54 merinlaàadota +4-10+20×3
25 meéedogbon -5+30 55 maruundinlogota -5+20×3
26 merindinlogbon -4+30 Источник: Dirk Huylebrouck. {{{Заголовок}}}.
27 metadinlogbon -3+30
28 mejidinlogbon -2+30
29 mokondinlogbon -1+30
30 ogbon 30

Назви великих чиселРедагувати

Багато народів використовували для позначення великих чисел слова «чудовисько», «нескінченність», «більше не злічиш». Так приставка «-тера», що позначає множення вихідної одиниці на 1012, т. е. трильйон (наприклад, терабайт) походить від римського слова «чудовисько», т. е. є однокореневий зі словом «терор».

На мові Руанди 10 000 називається «слон», а 20 000 — «два слона». У Нігерії число 160 000 називається «400 зустрічає 400», а назву числа 10 000 000 можна приблизно перекласти як «Тут так багато речей, що їх число неосяжно».[7]

Арифметичні обчисленняРедагувати

Для рахунку потрібно мати математичні моделі таких важливих подій, як об'єднання кількох множин в один або, навпаки, відокремлення частини множини. Так з'явилися операції додавання і віднімання. Множення для натуральних чисел з'явилося як, «пакетного», повторюваного складання.

Інше важливе практичне дію — поділ на частини — з часом абстрагировалось в четверту арифметичну операцію — поділ. Властивості арифметичних операцій відкривалися поступово.

Множення, ділення та операції з дробами набули поширення з розвитком вимірювань.

Перші дробу зазвичай мали знаменником 2, 3, 4, 8 або 12. Наприклад, у римлян стандартної дробом була унція (1/12). Середньовічні грошові і мірні системи несуть на собі явний відбиток стародавніх недесятичных систем: 1 англійська пенс = 1/12 шилінга, 1 дюйм = 1/12 фути, 1 фут = 1/3 ярду, дюжина = 12 одиниць і т. д. Десяткові дроби, зручні в складних обчисленнях отримали поширення лише після прийняття метричної системи заходів.

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • {{{Заголовок}}}.
  • Dirk Huylebrouck. {{{Заголовок}}}.
  • Микель Альберти. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5977407351.
  • Яков Исидорович Перельман. {{{Заголовок}}}. — ISBN 978-5-9524-4959-6.
  • В. Беллюстин. {{{Заголовок}}}.
  • {{{Заголовок}}}. — Т. Книга 1. Арифметика.