Марковська мережа

У теорії ймовірностей, Ма́рковська мере́жа, або Ма́рковське випадко́ве по́ле — це графічна модель, в якій множина випадкових величин з Марковською властивістю описується неорієнтованим графом. За своїм представленням, Марковська мережа подібна до Баєсової мережі, з тою різницею, що граф Баєсової мережі орієнтований та ациклічний, тоді як граф Марковської мережі неорієнтований і, відповідно, може мати цикли.

Означення

Неорієнтований граф $G=(V,E)$, множина випадкових величин $\xi _{k}$ утворюють Марковське випадкове поле (Марковську мережу), якщо вони задовільняють умові Маркова:

$\forall x\in X\quad P(\xi _{k}=x_{k}\ |\ \xi _{V\setminus \{k\}}=x_{V\setminus \{k\}})=P(\xi _{k}=x_{k}\ |\ \xi _{N(k)}=x_{N(k)})$, де $N(k)=\{j\ |\ \{i,j\}\in E\}$.

Марковське випадкове поле з дискретним часом

У багатьох прикладних задачах у фізиці, економіці, біології, випадкове поле може описувати стан системи у деякий фіксований момент часу. Нехай $\xi =\{\xi ^{t}:\ t=0,1,\ldots \}$ — марковський процес з дискретним часом. Якщо задовільняється умова локальності:

$P\{\xi _{k}^{t+1}=x_{k}\ |\ \xi ^{t}=x^{t},\ldots ,\xi ^{0}=x^{0}\}=P\{\xi _{k}^{t+1}=x_{k}\ |\ \xi _{N(k)}^{t}=x_{N(k)}^{t}\}$, $\ \forall k\in V,\ x^{0},\ldots ,x^{t+1}\in X$

І умова синхронності:

$P\{\xi _{K}^{t+1}=x_{K}\ |\ \xi ^{t}=x^{t}\}=\prod _{k\in K}P\{\xi _{k}^{t+1}=x_{k}\ |\ \xi ^{t}=x^{t}\}$, $\ \forall K\subset V,\ x^{t}\in X$,

То такий процес разом із графом $G=(V,E)$ утворює Марковське випадкове поле із синхронними компонентами, що локально взаємодіють, або просто Марковське поле з дискретним часом.

Див. також

• Баєсова мережа
• Марковська логічна мережа

Джерела

• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)
• Кнопов П.С. О некоторых прикладных задачах марковских случайных процессов с локальным взаимодействием / Самосёнок А.С. // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, вип. 3. — С. 346-359.