Майже багатокутник

(Перенаправлено з Майже многокутник)

Майже багатокутник — це геометрія інцидентності, запропонована Ернестом Е. Шультом і Артуром Янушкою 1980 року[1]. Шульт і Янушка показали зв'язок між так званими тетраедрично замкнутими системами прямих в евклідових просторах і класом геометрій точка/пряма, які вони назвали майже багатокутниками. Ці структури узагальнюють нотацію узагальнених багатокутників, оскільки будь-який узагальнений 2n-кутник є майже 2n-кутником певного виду. Майже багатокутники інтенсивно вивчалися, а зв'язок між ними і подвійними полярними просторами[2] показано в 1980-х роках і початку 1990-х. Деякі спорадичні прості групи, наприклад, група Голла — Янко і групи Матьє, діють як групи автоморфізмів на майже багатокутниках.

Щільний майже багатокутник із діаметром d = 2

Визначення

ред.

Майже  -кутники — це структура інцидентності ( ), де   — множина точок,   — множина прямих, а   — відношення інцидентності, таке, що:

  • Найбільша відстань між двома точками (так званий діаметр) дорівнює d.
  • Для будь-якої точки   і будь-якої прямої   існує єдина точка на  , найближча до  .

Зауважимо, що відстань вимірюється в термінах колінеарного графу точок, тобто графу, утвореного з точок як вершин, і пара вершин з'єднана ребром, якщо вони інцидентні одній прямій. Ми можемо також дати альтернативне визначення в термінах теорії графів. Майже  -кутник — це зв'язний граф скінченного діаметра d з властивістю, що для будь-якої вершини x і будь-якої максимальної кліки M існує єдина вершина x у M, найближча до x. Максимальна кліка такого графа відповідає прямим у визначенні структури інцидентності. Майже 0-кутник (d = 0) — це єдина точка, тоді як майже 2-кутник (d = 1) — це просто одна пряма, тобто повний граф. Майже квадрат (d = 2) — це те саме, що й (можливо, вироджений) узагальнений чотирикутник. Можна показати, що будь-який узагальнений 2d-кутник є майже  -кутником, що задовольняє двом додатковим умовам:

  • Будь-яка точка інцидентна щонайменше двом прямим.
  • Для будь-яких двох точок x, y на відстані i < d існує єдина сусідня точка для y на відстані i − 1 від x.

Майже багатокутник називають щільним, якщо будь-яка пряма інцидентна щонайменше трьом точкам і якщо дві точки на відстані два мають щонайменше дві спільні сусідні точки. Кажуть, що багатокутник має порядок (st), якщо будь-яка пряма інцидентна рівно s + 1 точці і будь-яка точка інцидентна рівно t + 1 прямій. Щільні майже багатокутники мають багату теорію і деякі їх класи (такі як тонкі щільні майже багатокутники) повністю класифіковано[3].

Підпростір X простору P називають опуклим, якщо будь-яка точка на найкоротшому шляху між двома точками з X також міститься в X[4].

Приклади

ред.
  • Всі зв'язні двочасткові графи є майже багатокутниками. Фактично, будь-який майже багатокутник, що має рівно дві точки на пряму, повинен бути зв'язним двочастковим графом.
  • Всі скінченні узагальнені багатокутники, за винятком проєктивних площин.
  • Всі двоїсті полярні простори[en].
  • Майже восьмикутник Голла — Янко, відомий також як майже восьмикутник Коена — Тітса[5], пов'язаний з групою Голла — Янко. Його можна побудувати, вибравши клас спряженості 315 центральних інволюцій групи Голла — Янко як точки і триелементні підмножини {x, y, xy} як прямі, якщо x і y комутують.
  • Майже багатокутник M24, пов'язаний із групою Матьє M24 і розширеним двійковим кодом Голея. Восьмикутник будується з 759 октад (блоків) схеми Вітта S(5, 8, 24), що відповідають кодам Голея, як точок і трійок трьох попарно не перетинних вісімок як прямих[6].
  • Візьмемо розбиття множини {1, 2,…, 2n + 2} на n + 1 підмножину з 2 елементів як точки, і розбиття на n − 1[7] підмножину з двох елементів і одну підмножину з 4 елементів як прямі. Точка інцидентна прямій тоді й лише тоді, коли вона (як розбиття) є уточненням прямої. Це дає нам 2n-кутник з трьома точками на кожній прямій, який зазвичай позначаються як Hn. Повна група автоморфізмів цього майже багатокутника — S2n+2[8].

Правильні майже багатокутники

ред.

Скінченний майже  -кутник S називають правильним, якщо він має порядок   і якщо існують константи  , такі, що для будь-яких двох точок   і   на відстані   існує рівно   прямих, що проходять через   і містять (обов'язково єдину) точку на відстані   від  . Виявляється, що правильні майже  - кутники — це точно ті майже  -кутники, точкові графи яких є дистанційно-регулярними графами. Узагальнений  -кутник порядку   — це правильний майже  -кутник з параметрами  .

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Shult, Yanushka, 1980.
  2. Cameron, 1982, с. 75-85.
  3. De Bruyn, 2006.
  4. De Bruyn, 2013, с. 1313.
  5. The near octagon on 315 points. Архів оригіналу за 29 липня 2021. Процитовано 29 липня 2021.
  6. Архівована копія (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 31 серпня 2021. Процитовано 29 липня 2021.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
  7. В англійській версії статті тут стоїт n, але в статті де Брейна стоїт n—1.
  8. De Bruyn, 2013.

Література

ред.
  • Brouwer A.E., Cohen A. M., Wilbrink H. A., Hall J. J. Near polygons and Fischer spaces // Geom. Dedicata. — 1994. — Т. 49, вип. 3 (9 грудня). — С. 349–368. — DOI:10.1007/BF01264034.
  • Brouwer A.E., Cohen A.M. Distance Regular Graphs. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989. — ISBN 3-540-50619-5.
  • Cameron Peter J. Dual polar spaces // Geom. Dedicata. — 1982. — Т. 12 (9 грудня). — С. 75–85. — DOI:10.1007/bf00147332.
  • Cameron Peter J. Projective and polar spaces. — London : Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991. — Т. 13. — (QMW Maths Notes) Архівовано з джерела 6 липня 2020
  • De Bruyn Bart. Near Polygons. — Birkhäuser Verlag, 2006. — 9 грудня. — ISBN 3-7643-7552-3. — DOI:10.1007/978-3-7643-7553-9.
  • De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam : North-Holland, 1995. — С. 433–475.
  • Shult Ernest E. Points and Lines. — Springer, 2011. — (Universitext) — ISBN 978-3-642-15626-7. — DOI:10.1007/978-3-642-15627-4.
  • Shult Ernest, Yanushka Arthur. Near n-gons and line systems // Geom. Dedicata. — 1980. — Т. 9 (9 грудня). — С. 1–72. — DOI:10.1007/BF00156473.
  • De Bruyn Bart. Isometric embeddings of the near polygons Hn and Gn into dualpolarspaces / Douglas B. West // Discrete Mathematics. — 2013. — Вип. 313 (9 грудня). — С. 1313-1321. — ISSN 0012-365X.