Логарифмічний розподіл

Логарифмічний розподіл в теорії імовірності — клас дискретних розподілів, що використовується в різних додатках, включаючи математичну генетику і фізику.

Logarithmic
Plot of the logarithmic PMF The function is only defined at integer values. The connecting lines are merely guides for the eye.
Функція розподілу ймовірностей Plot of the logarithmic CDF
Параметри	$0<p<1$
Носій функції	$k\in \{1,2,3,\ldots \}$
Розподіл імовірностей	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$
Середнє	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}$
Мода	$1$
Дисперсія	$-{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p$
Характеристична функція	${\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}$
Генератриса (pgf)	${\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}$

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $Y$ задається функцією ймовірності:

$p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}},\;k=1,2,3,\ldots$,

де $0<p<1$.

Тоді кажуть, що $Y$ має логарифмічний розподіл з параметром $p$. Пишуть: $\ Y\sim \mathrm {Log} (p)$. Функція розподілу випадкової величини $Y$ кусково-постійна зі стрибками в натуральних точках:

$F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}},\;&y\in [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.$,

де $\mathrm {B} _{p}$ — неповна бета-функція.

Зауваження

Те, що функція $p_{Y}(k)$ дійсно є функцією ймовірності деякого розподілу, випливає з розкладу логарифма в ряд Тейлора:

$\ln(1-p)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[-{\frac {p^{k}}{k}}\right],\;0<p<1$,

звідки

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1$.

Моменти

Твірна функція моментів випадкової величини $Y\sim \mathrm {Log} (p)$ задається формулою

$M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}$,

звідки

$\mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}$,

$\mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}.$

Зв'язок з іншими розподілами

Пуассонівська сума незалежних логарифмічних випадкових величин має від'ємний біноміальний розподіл. Нехай $\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$ послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, таких що $X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots$. Нехай $N\sim \mathrm {P} (\lambda )$ — Пуассонівська випадкова величина. Тоді

$Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB} .$

Див. також

• Вироджений розподіл

Література

• Fisher, R. A.; Corbet, A. S.; Williams, C. B. (1943). The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population (PDF). Journal of Animal Ecology. 12 (1): 42—58. doi:10.2307/1411. JSTOR 1411. Архів оригіналу (PDF) за 26 липня 2011.
• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions. Univariate discrete distributions (вид. 3). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Weisstein, Eric W. Log-Series Distribution(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.