Відкрити головне меню

Логарифмічний розподіл

Логарифмічний розподіл в теорії імовірності — клас дискретних розподілів, що використовується в різних додатках, включаючи математичну генетику і фізику.

ОзначенняРедагувати

Нехай розподіл випадкової величини   задається функцією ймовірності:

 ,

де  .

Тоді кажуть, що   має логарифмічний розподіл з параметром  . Пишуть:  . Функція розподілу випадкової величини   кусково-постійна зі стрибками в натуральних точках:

 ,

де   — неповна бета-функція.

ЗауваженняРедагувати

Те, що функція   дійсно є функцією ймовірності деякого розподілу, випливає з розкладу логарифма в ряд Тейлора:

 ,

звідки

 .

МоментиРедагувати

Твірна функція моментів випадкової величини   задається формулою

 ,

звідки

 ,
 

Зв'язок з іншими розподіламиРедагувати

Пуассонівська сума незалежних логарифмічних випадкових величин має від'ємний біноміальний розподіл. Нехай   послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, таких що  . Нехай   — Пуассонівська випадкова величина. Тоді