Лема про змію — інструмент, який використовується в математиці, особливо в гомологічній алгебрі, для побудови довгих точних послідовностей. Лема про змію є вірною в будь-якій абелевій категорії і відіграє ключову роль в гомологічній алгебрі і її застосуваннях, наприклад в алгебраїчної топології. Гомоморфізми, побудовані з її допомогою, зазвичай називають зв'язуючими гомоморфізмами.

ФормулюванняРедагувати

У абелевій категорії (такий як категорія абелевих груп або категорія векторних просторів над фіксованим полем), розглянемо комутативну діаграму:

 

рядки якої є точними послідовностями, а 0 — нульовий об'єкт.

Тоді існує точна послідовність, що зв'язує ядра і коядра відображень a, b і c:

 

де d — гомоморфізм, що називається зв'язуючим гомоморфізмом.

Більш того, якщо морфізм f є мономорфізмом, то і морфізм   — мономорфізм, і якщо g' є епіморфізмом, то і   — епіморфізм.

Пояснення назвиРедагувати

Щоб пояснити походження назви леми, уявімо наведену вище діаграму наступним чином:

 

і зауважимо, що точна послідовність, існування якої стверджується у лемі, має форму повзучої змії.

Побудова відображеньРедагувати

Відображення між ядрами і відображення між коядрами природним чином індукуються даними (горизонтальними) відображеннями зважаючи на комутативність діаграми. Точність двох індукованих послідовностей природним чином випливає з точності рядків вихідної діаграми. Важлива частина твердження леми полягає в існуванні зв'язуючого гомоморфізму d, що включається в точну послідовність.

У випадку абелевих груп або модулів над деякими кільцем, відображення d може бути побудовано в такий спосіб:

Виберемо елемент x з ker c і розглянемо його як елемент C; так як g є сюр'єктивним, то існує y з B, такий, що g(y) = x. З огляду на комутативність діаграми, ми маємо g' (b(y)) =c(g(y)) =c(x) = 0 (так як x лежить в ядрі c), і отже b(y) лежить в ядрі g' . Так як нижній рядок є точним, то існує елемент z з A' , такий, що f' (z) = b(y). Елемент z є єдиним зважаючи на ін'єктивність f' . Тоді можна задати d(x) = z + im(a). Залишається перевірити, що d є коректно визначеним (тобто d(x) залежить тільки від x, а не від вибору y), що він є гомоморфізмом і що одержана послідовність є точною.

Якщо це зробити, теорема буде доведена для абелевих груп або для модулів над кільцем. У загальному випадку доведення можна переформулювати в термінах властивостей стрілок. Інший спосіб ведення — використання теореми Мітчела про вкладення.

Натуральність точної послідовностіРедагувати

В застосуваннях, часто потрібно довести, що отримана довга точна послідовність є "натуральною" (в розумінні натуральних перетворень). Ці властивості випливають із натуральності послідовності у лемі про змію.

А саме, якщо маємо комутативну діаграму

 

в якій усі рядки є точними, то лему про змію можна застосувати для "передньої" і "задньої частин діаграм", отримавши дві довгі точні послідовності. Ці точні послідовності пов'язані комутативною діаграмою

 

Застосування: точні послідовності ланцюгових комплексівРедагувати

Нехай дано точну послідовність ланцюгових комплексів:

 

із гомоморфізмами ланцюгових комплексів  

Точність послідовності в даному випадку означає, що усі відповідні послідовності модулів

 

є точними.

Одним із найважливіших наслідків леми про змію, що широко використовується у гомологічній алгебрі і алгебричній топології є твердження про те, що за таких умов існують гомоморфізми  які є частиною довгої точної послідовності:

 

ДоведенняРедагувати

Зважаючи на умови точності послідовності ланцюгових комплексів, одержується комутативна діаграма:

 

в якій рядки є точними послідовностями.

Звідси одержується комутативна діаграма

 

У цій діаграмі вертикальні відображення породжуються граничними відображеннями ланцюгових комплексів. Наприклад  визначається як:

 

Очевидно   і   тому з леми про змію відразу випливає існування гомоморфізмів  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
  • P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6
  • Serge Lang: Algebra. 3rd edition, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157–159 (online copy, с. 157, на «Google Books»)
  • Northcott, D. G. A first course of homological algebra. Reprint of 1973 edition. Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1980. ISBN 0-521-29976-4