Коло, яке проходить через точки , дотикається до кола  внутрішнім чином тоді і лише тоді, коли , де   і відрізки дотичних, проведених з точок  і до кола  (рис. 1).

Рис.1

Доведення леми ЛачланаРедагувати

Для доведення даної леми нам знадобиться довести, що якщо два кола з радіусами   та   дотикаються одне до одного внутрішнім способом в точці  (рис. 2)

 
Рис. 2

то для довільної точки   на зовнішньому колі має місце співвідношення  , де   - точка  перетину прямої   з внутрішнім колом. Справді, центри кіл    та точка M лежать на одній прямій, тому що в точці   обидва кола мають спільну дотичну. Тому наведене співвідношення випливає з подібності трикутників   та  .

Тепер доведемо лему Лачлана. Нехай два кола, що розглядаються, дотикаються в точці   внутрішнім способом (рис. 12). У цьому випадку, врахувавши співвідношення подібності, що виведене на початку статті, і позначивши   та застосувавши теорему про січну і дотичну, отримаємо:

 

 

 

Тому:

 

Так, як чотирикутник   є вписаним, то застосувавши теорему Полемея отримаємо :

 

Доведена умова достатня і необхідна, бо достатню і необхідну умову виражає теорема Птолемея.