Лема Бореля — Кантеллі

Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.

Перша лемаРедагувати

Нехай задано ймовірнісний простір   і послідовність подій  . Позначимо

 .

Тоді якщо ряд   є збіжним, то  .

ДоведенняРедагувати

Спершу зазначимо, що  . Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:

 .

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга лемаРедагувати

Якщо всі події   сумісно незалежні, і ряд   є розбіжним, то  .

ДоведенняРедагувати

Достатньо довести, що для всіх k виконується:

 

Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо

 

Зважаючи, що   маємо

 

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при   тому:

 

Однак виконується

 

звідки при   отримаємо бажаний результат.

ДжерелаРедагувати