Кільце Коена — Маколея

У комутативній алгебрі кільцями Коена — Маколея називається клас комутативних кілець, що є зокрема важливим у алгебричній геометрії, завдяки властивостям локальної рівнорозмірності. Названі на честь англійського математика Френсіса Маколея і американського математика Ірвінга Коена.

Означення

Комутативне локальне нетерове кільце $R$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює його розмірності $\dim R$.

Еквівалентне означення можна дати в термінах регулярної послідовності, тобто послідовності елементів $a_{1},\dots ,a_{k}\in R$ де для всіх $i$ елемент $a_{i}$ не є дільником нуля у кільці $R/(a_{1},\ldots ,a_{i})$. Локальне кільце $R$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо існує регулярна послідовність для якої фактор-кільце є кільцем Артіна. Довжина цієї регулярної послідовності є рівною глибині кільця і його розмірності Круля.

Також кільця Коена — Маколея можна охарактеризувати тим, що групи $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)\neq 0$ і групи локальних когомологій $H_{\mathfrak {m}}^{i}(R)$ рівні нулю для всіх $i<\dim R$, де ${\mathfrak {m}}$ — максимальний ідеал, a $k$ — поле лишків $R$.

Нетерове кільце $R$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо для будь-якого простого ідеалу ${\mathfrak {p}}\subset R$ локалізація кільця $R_{\mathfrak {p}}$ є кільцем Коена — Маколея. Аналогічно довільна схема $X$ називається схемою Коена — Маколея якщо для будь-якої точки локальне кільце у цій точці є кільцем Коена — Маколея.

Приклади

• Регулярне локальне кільце (і, взагалі, будь-яке кільце Горенштейна) є кільцем Коена — Маколея;
• будь-яке артинове кільце;
• будь-яке одновимірне редуковане кільце;
• будь-яке двовимірне нормальне кільце є кільцем Коена — Маколея.
• Кільце многочленів або формальних степеневих рядів над полем чи над будь-яким кільцем Коена — Маколея.

Властивості

• Якщо ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал в локальному кільці Коена — Маколея $R$, то для його висоти виконується співвідношення

$\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}})=\operatorname {dim} R.$

Зокрема, локальне кільце Коена — Маколея є рівнорозмірним і ланцюговим.

• Одним із найважливіших результатів теорії кілець Коена — Маколея є теорема про незмішаність. Ця теорема була доведена Маколеєм для кільця многочленів і Коеном для кільця формальних степеневих рядів, що дало назву усьому класу кілець. Нехай $R$ — d-вимірне кільце Коена — Маколея, $a_{1},\dots ,a_{k}\in R$ — послідовність елементів з $R$ для яких $\operatorname {dim} R/(a_{1},\ldots ,a_{k})=d-k$. Тоді ця послідовність є регулярною, і ідеал ${\mathfrak {u}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ є незмішаним, тобто будь-який простий ідеал, асоційований з ${\mathfrak {u}}$ має висоту $k$ і ковисоту $d-k$.

• Локальне кільце є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли кільцем Коена — Маколея є його поповнення;
• Якщо $R$ є локальним кільцем Коена — Маколея, то і кільце $R/(a_{1},\ldots ,a_{k})$, де $a_{1},\ldots ,a_{k}$ — регулярна послідовність, є кільцем Коена — Маколея;
• Локалізація локального кільця Коена — Маколея (в першому означенні) по простому ідеалу знову є кільцем Коена — Маколея. Ця властивість зокрема робить несуперечливим означення для довільних нетерових кілець.
• Кільце Коена — Маколея стабільні і при переході до кілець інваріантів. Якщо $G$ — скінченна група, що діє на кільці Коена — Маколея $R$ і її порядок є оборотним у $R$, то кільце інваріантів $R^{G}$ є кільцем Коена — Маколея.
• Критерій Хіронаки. Нехай $R$ — локальне кільце, що є скінченнопородженим модулем над деяким регулярним локальним кільцем $A\subset R$. Такі підкільця завжди існують, наприклад, для локалізації скінченнопородженої алгебри над полем по простому ідеалу (згідно нормалізаційної леми Нетер); вони також існують коли $R$ є повним кільцем, що містить поле або повною областю цілісності. При цих умовах $R$ є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли воно є плоским A-модулем; еквівалентно, якщо $R$ є вільним A-модулем.
• Нехай $u$ — елемент нетерового локального кільця $R$, що не є дільником нуля і належить максимальному ідеалу. Тоді $R$ є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли$R/(u)$ є кільцем Коена — Маколея.

Модулі Коена — Маколея

Скінченнопороджений модуль $M$ над локальним нетеровим кільцем $R$називається модулем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює розмірності.

На модулі Коена — Маколея поширюються багато результатів про кільце Коена — Маколея. Наприклад, носій такого модуля є рівнорозмірним.

Для будь-якого асоційованого ідеалу ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} M$виконується рівність $\operatorname {depth} M=\operatorname {dim} M=\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}.$ Звідси випливає також, що кожен елемент $\operatorname {Ass} M$ є мінімальним і також елементом носія модуля.

У модулів Коена — Маколея кожна система параметрів є регулярною послідовністю. Системою параметрів називається послідовність елементів $a_{1},\ldots ,a_{n}$, які належать максимальному ідеалу кільця $R$, де $n=\operatorname {dim} R$і модуль $M/(a_{1},\ldots ,a_{n})M$ має скінченну довжину. Навпаки, якщо для $M$ кожна система параметрів є регулярною, то $M$ є модулем Коена — Маколея.

Якщо $M$ є R-модулем Коена — Маколея і ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал у $R$, то локалізація $M_{\mathfrak {p}}$ є $R_{\mathfrak {p}}$- модулем Коена — Маколея.

Існує гіпотеза, що для будь-якого повного локального кільця існує модуль Коена — Маколея $M$ такий, що $\dim M=\dim A$.

Див. також

• Глибина (теорія кілець)
• Кільце Горенштейна
• Розмірність Круля

Література

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
• Cohen, I. S. (1946), On the structure and ideal theory of complete local rings, Transactions of the American Mathematical Society, 59: 54—106, doi:10.2307/1990313, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990313, MR 0016094
• V.I. Danilov (2001), Cohen–Macaulay ring, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Fulton, William (1993), Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00049-7, MR 1234037
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, ISBN 0-521-63277-3, MR 1658959
• Kollár, János (2013), Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950
• Macaulay, F.S. (1994) [1916], The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, ISBN 1-4297-0441-1, MR 1281612, архів оригіналу за 3 березня 2016, процитовано 8 грудня 2017
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273