Евклідове кільце

В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.

Визначення

Евклідове кільце — область цілісності $R$, для якої визначена евклідова функція (евклідова норма) $d\colon R\to \mathbb {N} \cup \{-\infty \}$, причому $d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0$, і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких $a,b\in R,\,b\neq 0$ є представлення $a=bq+r$, для якого $d(r)<d(b)$.

Примітка

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження: $d(a)\leq d(ab)$ для будь-яких $a$ та ненульових $b$ з кільця $R$. Якщо на $R$ задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

$d'(a)=\min\{d(ax):\,x\in R,\,x\neq 0\}$

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай $x\in R$ такий, що $d'(b)=d(bx)$. Розділимо з остачею ax на bx: $ax=bxq'+r'x$, де $r'=a-bq'$ і $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$. Тому що з визначення $d'(r')\leq d(r'x)$, ми отримали представлення $a=bq'+r'$ з $d'(r')<d'(b)$, що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

Приклади

• Кільце цілих чисел $\mathbb {Z}$. Приклад евклідової функції — абсолютна величина $|\cdot |$.
• Кільце цілих гаусових чисел $\mathbb {Z} [i]$ (де i — уявна одиниця, $i^{2}=-1$) з нормою $d(a+ib)=a^{2}+b^{2}$ — евклідове.
• Довільне поле $K$ є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює $1$ для всіх елементів, окрім $0$.
• Кільце многочленів від однієї змінної $K[x]$ над полем $K$. Приклад евклідової функції — піднесення до степеня, $\mathrm {deg} \,(\cdot )$.
• Кільце формальних степеневих рядів $K[[x]]$ над полем $K$ є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
• Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента — $0$, необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
• Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
• Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
• Кільце часток $S^{-1}R$ евклідового кільця $R$ по мультиплікативній системі $S$ також є евклідовим. Нормою дробу $x$ з $S^{-1}R$ приймається

$d_{S}(x)=\min\{d_{R}(u):\,(u,s)\in R\times S,\,x=u/s\}$, де $d_{R}$ — евклідова норма в $R$, а $d_{S}$ — норма в $S^{-1}R$.

Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби $x=r/t$ і $y$ з $S^{-1}R$. За визначенням норми в $S^{-1}R$ існують елементи $u$ в $R$ і $s$ в S, такі що $y=u/s$ і $d_{S}(y)=d_{R}(u)$. Вчинимо ділення з остачею в кільці $R$ елементів $rs$ і $u$:
rs = uq + r', так що $d_{R}(r')<d_{R}(u)$. Тоді $r/t=(u/s)(q/t)+r'/ts$. З побудови випливають нерівності $d_{S}(r'/ts)\leq d_{R}(r')<d_{R}(u)=d_{S}(y)$.

• Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел $\mathbb {Z}$.
• Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем $\mathbb {C}$ з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів $\mathbb {C} [x]$.

Алгоритм Евкліда

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи $a_{0}$ і $a_{1}$, при чому $d(a_{1})\leq d(a_{0})$ і $a_{1}\neq 0$. Ділення з остачею дає елемент $a_{2}=a_{0}-a_{1}q_{1}$ с $d(a_{2})<d(a_{1})$. Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент $a_{3}=a_{1}-a_{2}q_{2}$, і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ з $d(a_{0})>d(a_{1})>d(a_{2})>\dots$. Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з $N\cup \{-\infty \}$ може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому $n$ остача $a_{n+1}$ дорівнює нулю, а $a_{n}$ не дорівнює, вона і є НСД елементів $a_{0}$ і $a_{1}$. Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілець

• В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
  • Нехай $I$ — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент $f$ з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо $g$ — довільний елемент ідеалу $I$, запишемо його у вигляді $g=fg+r$ з $d(r)<d(f)$. Тоді $r$ — також елемент ідеалу $I$ і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у $f$. Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі $(f)$. З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент $f$, містить ідеал $(f)$. Отже, $I=(f)$ — головний ідеал.
• Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
• Кожне евклідове кільце $R$ цілозамкнене, тобто якщо дріб $a/b,\,a,b\in R$, є коренем многочлена $f\in R[x]$ зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює $1$, тоді $a$ ділиться на $b$. Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцем

Нехай $R$ — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені $R$-модулі характеризуються такими властивостями:

• Кожен підмодуль $N$ скінченнопородженого $R$-модуля $M$ скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця $R$)
• Ранг підмодуля $N$ не перевищує рангу модуля $M$. (наслідок того, що ідеали в $R$ головні)
• Підмодуль вільного $R$-модуля вільний.
• Гомоморфізм $A\colon N\to M$ скінченнопороджених $R$-модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний) $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ модуля $N$, твірні (базис) $v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}$ модуля $M$, номер $k\leq \min\{m,n\}$ і $a_{1},\dots ,a_{k}$ — елементи кільця $R$, такі що $a_{i}$ ділить $a_{i+1}$ та при $i>k$ $Au_{i}=0$, а при інших — $Au_{i}=a_{i}v_{i}$. При цьому коефіцієнти $a_{1},\dots ,a_{k}$ визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця $R$. (Тут прямо задіяна евклідовість кільця $R$.)

Див. також

• Кільце
• Поле
• Область цілісності
• Кільце головних ідеалів
• Алгоритм Евкліда
• Евклід

Джерела

Українською

• Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Weisstein, Eric W. Евклідове кільце(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• J. von zur Gathen, J. Gerhard, «Modern Computer Algebra», ISBN 0-521-82646-2