Кусково-лінійна функція

Кусково-лінійна функція — функція, визначена на множині дійсних чисел, лінійна на кожному з інтервалів, що становлять область визначення.

Кусково-лінійна функція
Функція (синя) і її кусково-лінійна апроксимація (червона).
Кусково-лінійна функція у двох вимірах (вгорі) й опуклі багатогранники, на яких вона лінійна (внизу).

Формальне визначення й задавання

ред.

Нехай задані   — точки зміни формул.

Як і всі кусково-задані функції, кусково-лінійну функцію зазвичай задають на кожному з інтервалів   окремою формулою. Записують це у вигляді:  

Якщо до того ж виконані умови узгодження

  при  ,

то кусково-лінійна функція буде неперервною. Неперервна кусково-лінійна функція називається також лінійним сплайном.

Альтернативне задавання

ред.

Можна довести, що будь-яку неперервну кусково-лінійну функцію можна задати деякою формулою виду

 .

При цьому всі коефіцієнти, крім b, можна виразити через кутові коефіцієнти нахилу прямих на окремих інтервалах:

 , при  
 

Властивості

ред.
  • Будь-яку неперервну функцію можна апроксимувати як завгодно близько кусково-лінійною функцією (у безперервній метриці).

Див. також

ред.

Джерела

ред.

Посилання

ред.