Користувач:Knu mechmat/Теорема Фубіні

Теорема Фубіні використовується в математичному аналізі для обчислення подвійного інтегралу за допомогою повторного інтегралу.

ФормулюванняРедагувати

Нехай   та   вимірні простори з  -кінцевими повними мірами   та  , визначеними відповідно на  -алгебрах   та  . Якщо функція   інтегрована на добутку   просторів   та   відносно добутку   мір   та  , тоді майже для всіх   функція   змінної   інтегрована на просторі   щодо міри  , функція   інтегрована на просторі   щодо міри  , і має місце рівність

 

Теорема Фубіні справедлива, зокрема, для випадку, коли  ,   та   - міри Лебега відповідно у евклідових просторах  ,   та   відповідно (  та   натуральні),  ,  ,  ,   - вимірна по Лебегу функція на просторі  ,  ,  . У цих припущеннях теорема Фубіні має вигляд

 

Для того, щоб у випадку функції  , визначеної на довільній вимірній по Лебегу множині  , виразити кратний інтеграл через повторний, потрібно покласти функцію   нулем на весь простір   і застосувати формулу.

ІсторіяРедагувати

Особливий випадок теореми Фубіні для безперервних функцій на добуток замкнутих обмежених підмножин векторних просторів було відомо Ейлеру у 18-му столітті. Лебег (1904) поширив це на обмежені вимірні функції на добутку відрізків. у 1906 році Леві висловив гіпотезу, що теорема може бути поширена на інтегровані, а не на обмежені функції, і це було доведено Гвідо Фубіні у 1907 році.

ЛітератураРедагувати