Користувач:Knu mechmat/Кратні інтеграли по брусу

Означення та позначенняРедагувати

Розглядаються підмножини Rm та дійсні функції, визначені на цих підмножинах. Простір Rm розглядається як лінійний повний метричний простір з евклідовою відстанню. Означення інтеграла є ще одним узагальненням схеми означення інтеграла Рімана на випадок функції декількох змінних. [усталений термін?] Прямокутним паралелепіпедом в Rm (або m-мірним інтервалом або брусом) називається множина

 

[усталений термін?] Діаметром бруса Q називається число

 

[усталений термін?] Об'ємом (m-мірним об'ємом) або мірою (m-мірною мірою) бруса Q називається додатнє число

 

[усталений термін?] Розбиттям бруса Q називається набір брусів

 

[усталений термін?] Діаметром або розміром розбиття λ називається число

 

Суми Дарбу та їх властивостіРедагувати

Нехай Q — брус, функція f : Q → R  — обмежена на Q. Нехай λ = {Q(v1,v2,…,vm)} — деяке розбиття бруса Q. [усталений термін?] Нижньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ називається сума

 

[усталений термін?] Верхньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ називається сума

 

[усталений термін?] Нехай   Набір точок   називається набором, відповідним розбиттю λ.

Інтегральною сумою для функції f розбиття λ і відповідного набору   називається сума

 

Оскільки для будь-якого набору індексів (v1,v2,…,vm) ∈ w(λ) справедливі нерівності

 

то, домноживши їх на m(Q(v1,v2,…,vm)) > 0 і просумувавши по всім наборам (v1,v2,…,vm) з w(λ), отримаємо наступну властивість сум: для будь-якого λ і будь-якого набору  , відповідного розбиттю λ, справедливі нерівності

 

З нерівності випливає, що множини усіх верхніх та нижніх сум Дарбу, відповідних всім можливим розбиттям бруса Q, є обмеженими.

Розбиття λ бруса Q отримане за допомогою розбиттів λ1, λ2, … ,λm відповідно до відрізків [a1,b1], [a2,b2], … ,[am,bm]. Розглянемо для кожного із розбиттів λ1, λ2, … ,λm відповідні їм пірозбиття λ'1, λ'2, … ,λ'm, (які отримані з λ1, λ2, … ,λm додаванням нових точок). Нехай λ' розбиття бруса, отримане за допомогою розбиттів λ'1, λ'2, … ,λ'm. При цьому кожен брус Q(v1,v2,…,vm) розбиття λ виявиться розбитим на частини-бруси {Q(v1,v2,…,vm1, μ2, … ,μm)}, які складають розбиття λ'(v1,v2,…,vm) бруса Q(v1,v2,…,vm). Таким чином, маємо λ' = {Q(v1,v2,…,vm1, μ2, … ,μm) | (μ1, μ2, … ,μm) ∈ w(λ'(v1,v2,…,vm)), (v1,v2,…,vm) ∈ w(λ)} і наступну рівність

 

[усталений термін?] Розбиття λ' бруса Q, отримане вище описаним способом, називається підрозбиттям розбиття λ.

Суми Дарбу, відповідні розбиттю λ і будь-якому його підрозбиттю λ', пов'язані наступними нерівностями

 

Нехай λ' і λ  — два розбиття бруса Q, отримані за допомогою розбиттів λ'1, λ'2, … ,λ'm та λ1, λ2, … ,λm відповідно до відрізків [a1,b1], [a2,b2], … ,[am,bm]. Нехай λk = λ'k ∪ λk, 1 ≤ k ≤ m, і нехай λ — розбиття бруса Q, отримане за допомогою λ1, λ2, … ,λm. Розбиття λ є підрозбиттям кожного з розбиттів λ', λ. Враховуючи вище описані нерівності, маємо

 


Верхній та нижній інтеграли. Означення кратного інтеграла по брусуРедагувати

Нехай Q — брус, f : Q → R  — обмежена на Q функція. [усталений термін?] Нижнім інтегралом від функції f по брусу Q називається число

 

[усталений термін?] Верхнім інтегралом від функції f по брусу Q називається число

 

[усталений термін?] Функція f називається інтегрованою по брусу Q , якщо

 .

[усталений термін?] Для інтегрованої функції f число   називається m-кратним інтегралом Рімана від функції f по брусу Q.

Шаблон:Denotation m-кратний інтеграл Рімана позначається

  •  
  •  
  •  

Інтегрованість неперервної функціїРедагувати

Лема. Нехай функція f : Q → R задовольняє для деякого ε > 0 такі умови

 

Тоді

 

Шаблон:Plain theorem Функція f ∈ C(Q) інтегрована по Q.

Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q). Тоді

 
 

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q), { λ(n) | n ≥ 1 }  — послідовність розбиттів бруса Q, які задовольняють умови |λ(n)| → 0, n → ∞. Нехай для кожного натурального n    — деякий набір, що відповідає розбиттю λ(n). Тоді

 

Властивості інтеграла від неперервної функціїРедагувати

Шаблон:Plain theorem Для будь-якого c ∈ R.

 

Шаблон:Plain theorem Нехай Q — брус в Rm та Q = Q1 ∪ Q2, де Q1, Q2  — бруси в Rm, які не мають спільних внутрішніх точок. Нехай f ∈ C(Q). Тоді

 

Шаблон:Plain theorem Нехай fk ∈ C(Q), ck ∈ R, k = 1,2. Тоді

 

Шаблон:Plain theorem Нехай функція f ∈ C(Q). Тоді

 

Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q) і   Тоді

 

Шаблон:Plain theorem Нехай fk ∈ C(Q), k = 1,2 і   Тоді

 

Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q). Тоді

 

Формула приведення m-кратного інтеграла до послідовних однократнихРедагувати

Для обчислення m-кратного інтеграла   по брусу Q існує проста формула, що зводить обчислення цього інтеграла до послідовного обчислення однократних інтегралів Рімана.

Нехай m > 1. Для бруса Q = {(x1,...,xm) | ak ≤ xk ≤ bk, 1 ≤ k ≤ m} в Rm і кожного k, 1 ≤ k ≤ m, розглянемо також наступний брус Qk := {(x1, ... ,xk - 1,xk + 1, ... ,xm) | aj ≤ xj ≤ bj, 1 ≤ j ≤ m, j ≠ k} в Rm - 1, Qk — проекція бруса Q на гіперплощину xk = 0.

Лема. Нехай f ∈ C(Q). Тоді для кожного k, 1 ≤ k ≤ m : gkC([ak,bk]). Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q). Тоді для будь-якого k, 1 ≤ k ≤ m справедлива така рівність

 

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q). Тоді

 

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q). Тоді для будь-якого k, 1 ≤ k ≤ m справедлива рівність

 

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q), існує f'k на Q і f'k ∈ C(Q). Тоді

 

Формула являє собою певний аналог формули Ньютона-Лейбніца для m-кратного інтеграла. Вона також являється частковим випадком загальної формули Гауса-Остроградського.

ЛітератураРедагувати

  • Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.