Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності

Грани́ця числово́ї послідо́вності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення.

Означення границіРедагувати

[усталений термін?] Дійсне число a називається границею числової послідовності {an : n ≥ 1}, якщо ∀ ε > 0 ∃ N = N(ε)NnN : |an - a| < ε.

Шаблон:Denotation Границю числової послідовності позначають так:

 

або

 

( lim - скорочено від латинського слова limes, що означає "границя". )

Кажуть також, що послідовність {an : n ≥ 1} збігається до числа a, або має границю a.

{{knu mechmat}} → Нехай an = 1/n,n ≥ 1 . Доведемо, що

 

Оскільки ∀ ε > 0|1/n-0| = 1/n < εn > 1/ε. Тому ∀ ε > 0 ∃ N := [1/ε] +1 ∈ RnN : |1/n - 0| < ε.

[усталений термін?] Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках — розбіжною.

{{knu mechmat}} → Розглянемо an = (-1)n, n ≥ 1. Доведемо, що {an} = {-1; 1; -1; 1…} —розбігається. Припустимо, що ana, n → ∞. Тоді для ε = 1/2 ∃ NnN : |an - a| < ε = 1/2. В такому випадку ми могли б записати:

 

але таких a —не існує.

[усталений термін?] Кажуть, що {an} має границю +∞, якщо ∀ cRNNnN : anc; має границю −∞, якщо ∀ cRNNnN : anc.

{{knu mechmat}} → Доведемо, що

 

cRn0N : ∀ nn0 виконується nnc, nnnc — вірно ∀ nn0, n0 = [c] + 1.

[усталений термін?] Кажуть, що {an} має границю ∞, якщо ∀ c > 0 ∃ NNnN : |an| > c.

{{knu mechmat}} → Доведемо, що

 

З попереднього означення неважко здогадатись, що:

 

А ми знаємо, що послідовність {(-1)n | n ≥ 1} обмежена і її члени лежать у відрізку [-1; 1]. Тому відповідно ∀c > 0 ∃ NNnN : |(-1)nn| > c.

Геометрична інтерпретаціяРедагувати

[усталений термін?] Число a є границею числової послідовності {an}, якщо будь-який ε–окіл точки a містить всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого.

Властивості збіжних послідовностейРедагувати

Шаблон:Plain theorem Збіжна послідовність обмежена.

Шаблон:Plain theorem Нехай anaR, n → ∞ і число b > a. Тоді ∃ NNnN : an < b. Аналогічно, ∀ c < aKNnK : c < an.

Шаблон:Plain theorem Припустимо, що для послідовностей {an | n ≥ 1} і {bn | n ≥ 1} виконуються умови:

  1. ana, bnb, n → ∞;
  2. nN : anbn.

Тоді ab.

Шаблон:Remark Якби в умові було an < bn, то всерівно ab.

{{knu mechmat}} → -1/n < 1/n, при цьому -1/n → 0, 1/n → 0, n → ∞.

Шаблон:Plain theorem Нехай послідовності {an | n ≥ 1}, {bn | n ≥ 1}, {cn | n ≥ 1} задовольняють умови:

  1. anaR, cna, n → ∞;
  2. n ≥ 1 : anbncn.

Тоді bna, n → ∞.

{{knu mechmat}} → Доведемо, що

 

Нехай в теоремі (про три послідовності) для nN an = 1, тоді

 

при цьому an < bn < cn, n > 1 і an → 1, cn → 1, n → ∞.

Шаблон:Plain theorem Нехай anaR, bnbR, n → ∞ Тоді

  • cR
 
  • : 
  • :  
  • якщо додатково b ≠ 0, то
 

Монотонні послідовностіРедагувати

Існування границі монотонної послідовностіРедагувати

[усталений термін?] Послідовність {an | n ≥ 1} називається строго зростаючою, якщо ∀ n ≥ 1 : an < an+1. Послідовність {an | n ≥ 1} називається зростаючою (неспадною), якщо ∀ n ≥ 1 : anan+1. Послідовність {an | n ≥ 1} називається строго спадною, якщо ∀ n ≥ 1 : an > an+1. Послідовність {an | n ≥ 1} називається спадною (незростаючою), якщо ∀ n ≥ 1 : anan+1. Послідовність, яка задовольняє хоча б одну із вищенаведених умов, називається монотонною.

{{knu mechmat}} → Послідовність {1, 2, 3, 4,…, n,…} є строго зростаючою, послідовність {1, 1, 2, 2, 3, 3,…, n, n…} зростаюча (неспадна), а послідовність {1, -1, 1, -1,…, (-1)n+1,…} не є монотонною.

Шаблон:Plain theorem Монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел має границю.

Число еРедагувати

Розглянемо послідовність {an = (1+1/n)n | n ≥ 1}. Якщо розписати її за формулою бінома Ньютона, то стане зрозуміло, що кожний із відповідних доданків у an+1 більший за відповідний доданок у an. До того ж у an+1 на один доданок більше. А тому можна зробити висновок, що an монотонна і обмежена, тобто вона є збіжною. Позначимо буквою е границю послідовності {an}. Таким чином,

 

Число е — одна із важливих фундаментальних сталих в математиці. Воно є ірраціональним, його значення з точністю до 10-15 дорівнює е ≈ 2,718281828459045.

Підпослідовності та їх властивостіРедагувати

Означення підпослідовностіРедагувати

[усталений термін?] Послідовність {am(k) | k ≥ 1} називається підпослідовністю послідовності {an | n ≥ 1}.

{{knu mechmat}} → Підпослідовністю послідовності є {a2, a4, a6,…, a2k,…} = {a2k | k ≥ 1}.

Властивості підпослідовностейРедагувати

  1. Якщо послідовність обмежена, то будь-яка її підпослідовність також обмежена.
  2. Якщо послідовність збігається до a (можливо a = +∞ або a = -∞), то будь-яка її підпослідовність також збігається до a.
  3. Нехай ana, n → ∞; {v(k) | k ≥ 1} ⊂ N, v(k) → +∞, k → ∞. Тоді av(k)a, k → ∞.

Поняття про часткові границіРедагувати

[усталений термін?] Число aR називається частковою границею послідовності {an | n ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {am(k) | k ≥ 1} така, що am(k)a, k → ∞. Значення +∞ (-∞) називається частковою границею послідовності {an | n ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {am(k) | k ≥ 1} така, що am(k) → +∞, k → ∞ (am(k) → -∞, k → ∞).

Шаблон:Denotation Часткову границю позначають так: Ar = Ar(an).

{{knu mechmat}} → Візьмемо уже відому нам послідовність {an = (-1)n, n ≥ 1.}. Ми знаємо, що {an} = {-1; 1; -1; 1,…} —розбігається. Тому частковою границею буде Ar(an) = {1; -1}.

Нехай A —множина всіх часткових границь послідовності {an | n ≥ 1}.

Шаблон:Plain theorem Число aR є частковою границею послідовності {an | n ≥ 1} тоді і тільки тоді, коли ∀ ε > 0 ∀ NNñN : ñN, |añ - a| < ε.

Шаблон:Plain theorem Будь-яка послідовність дійсних чисел містить монотонну підпослідовність.

Шаблон:Plain theorem Будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел містить збіжну до дійсного числа підпослідовність.

Верхня та нижня границі послідовностіРедагувати

[усталений термін?] Нехай {an | n ≥ 1} ⊂ R — послідовність і A — множина її часткових границь. Нижньою границею послідовності називається величина

 

Шаблон:Remark Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {an | n ≥ 1} обмежена знизу і A ≠ {+∞}. Також нижня границя дорівнює -∞, якщо {an | n ≥ 1} не обмежена знизу і дорівнює +∞, якщо A = {+∞}.

[усталений термін?] Верхньою границею послідовності називається величина

 

Шаблон:Remark Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {an | n ≥ 1} обмежена зверху і A ≠ {-∞}. Також верхня границя дорівнює +∞, якщо {an | n ≥ 1} не обмежена зверху і дорівнює -∞, якщо A = {-∞}.

{{knu mechmat}} → Якщо послідовність {an | n ≥ 1} збігається до a, то

 

Шаблон:Plain theorem Нехай {an | n ≥ 1} — обмежена послідовність. Тоді

 

Дане твердження рівносильне ∀ ε > 0:

  1. множина {nN | an < a-ε} скінченна і
  2. множина {nN | an < a+ε} нескінченна.
 

Дане твердження рівносильне ∀ ε > 0:

  1. множина {nN | an > β+ε} скінченна і
  2. множина {nN | an > β-ε} нескінченна.

Тобто, щоб визначити нижню границю послідовності, варто скористатись формулою:

 

Для верхньої границі відповідно:

 

{{knu mechmat}} → Розглянемо послідовність {an} = {1; 0; 2; 0; 3; 0;…}. Нижньою границею в даному випадку буде

 

Верхньою границею буде відповідно:

 

Виберемо підпослідовності даної послідовності. Для послідовності, яка складається з елементів з парними номерами, це буде {a2n} = {0, 0, 0,…,0,…} = {0}, для непарних номерів відповідно {a2n+1} = {1, 2, 3,…,n+1, n,…}.

Шаблон:Plain theorem Нехай для послідовності чисел {an | n ≥ 1}

 

Тоді αA, βA.

ІсторіяРедагувати

Саме відомий німецький математик Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (Веєрштрас) ввів позначення границі числової послідовності:

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати