Конус (алгебрична геометрія)

В алгебричній геометрії конус — узагальнення векторного розшарування. Зокрема, для даної схеми X, відносну Spec

$C=\operatorname {Spec} _{X}R$

квазікогерентної градуйованої O_X-алгебри R називають конусом або афінним конусом у R. Подібно, відносну Proj

$\mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R$

називають проєктивним конусом у C або R.

Примітка: конус має $\mathbb {G} _{m}$-дію завдяки градуйованості R; ця дія є частиною даних конуса (звідки й назва).

Приклади

• Якщо X = Spec k — точка і R — однорідне координатне кільце, то афінний конус у R є (зазвичай) афінним конусом над відповідним R проєктивним многовидом.
• Якщо $R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$ для деякого пучка ідеалів I, то $\operatorname {Spec} _{X}R$ — нормальний конус до замкнутої схеми, визначеної I.
• Якщо $R=\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}$ для деякого лінійного розшарування L, то $\operatorname {Spec} _{X}R$ — повний простір у двоїстому до L.
• Загальніше, для даного векторного розшарування (локально вільний пучок скінченного рангу) E на X, якщо R=Sym(E^*) — симетрична алгебра, згенерована для двоїстого до E, то конус $\operatorname {Spec} _{X}R$ є повним простором у E, який часто позначають просто E, а проєктивний конус $\operatorname {Proj} _{X}R$ є проєктивним розшаруванням E, яке позначають $\mathbb {P} (E)$.
• Нехай ${\mathcal {F}}$ — когерентний пучок на стеку Деліня — Мамфорда X, а $C({\mathcal {F}}):=\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}})).$ Для будь-якого $f:T\to X$, оскільки глобальний Spec є правим сполученням з функтором прямого зображення, маємо: $C({\mathcal {F}})(T)=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}}),f_{*}{\mathcal {O}}_{T})$; зокрема, $C({\mathcal {F}})$ є комутативною груповою схемою над X.
• Нехай R — градуйована ${\mathcal {O}}_{X}$-алгебра, така що $R_{0}={\mathcal {O}}_{X}$ і $R_{1}$ є когерентним і локально породжує R як $R_{0}$-алгебру. Тоді існує замкнене вкладення

$\operatorname {Spec} _{X}R\hookrightarrow C(R_{1})$,

задане $\operatorname {Sym} (R_{1})\to R$. Тому $C(R_{1})$ називають абелевою оболонкою конуса $\operatorname {Spec} _{X}R.$ Наприклад, якщо для деякого пучка ідеалів $I$ $R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$, то це вкладення є вкладенням нормального конуса в нормальне розшарування.

Обчислення

Розглянемо ідеал повного перетину $(f,g_{1},g_{2},g_{3})\subset \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ і нехай $X$ — проєктивна схема, визначена пучком ідеалів ${\mathcal {I}}=(f)(g_{1},g_{2},g_{3})$. Тоді ми маємо ізоморфізм ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}$-алгебр, заданий як^{[джерело?]}

$\bigoplus _{n\geq 0}{\frac {{\mathcal {I}}^{n}}{{\mathcal {I}}^{n+1}}}\cong {\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b,c]}{(g_{2}a-g_{1}b,g_{3}a-g_{1}c,g_{3}b-g_{2}c)}}$

Властивості

Якщо $S\to R$ — градуйований гомоморфізм градуйованих O_X-алгебр, то маємо індукований морфізм між конусами:

$C_{R}=\operatorname {Spec} _{X}R\to C_{S}=\operatorname {Spec} _{X}S$.

Якщо гомоморфізм сюр'єктивний, то виходять замкнені вкладення $C_{R}\hookrightarrow C_{S},\,\mathbb {P} (C_{R})\hookrightarrow \mathbb {P} (C_{S}).$

Зокрема, припускаючи, що R₀ = O_X, побудову застосовують до проєкції $R=R_{0}\oplus R_{1}\oplus \cdots \to R_{0}$ (яка є доповнювальним відображенням), що дає

$\sigma :X\hookrightarrow C_{R}$.

Це перетин; тобто, $X{\overset {\sigma }{\to }}C_{R}\to X$ є тотожністю і називається вкладенням нульового перетину.

Розглянемо градуйовану алгебру R[t] зі змінною t, що має степінь один: явно частина n-го степеня буде

$R_{n}\oplus R_{n-1}t\oplus R_{n-2}t^{2}\oplus \cdots \oplus R_{0}t^{n}$.

Тоді її афінний конус позначають $C_{R[t]}=C_{R}\oplus 1$. Проєктивний конус $\mathbb {P} (C_{R}\oplus 1)$ називають проєктивним доповненням C_R. Дійсно, нульове місце^{[прояснити: ком.]} t = 0 точно дорівнює $\mathbb {P} (C_{R})$, а доповненням є відкрита підсхема C_R. Локус t = 0 називають гіперплощиною на нескінченності.

О(1)

Нехай R — квазікогерентна градуйована O_X-алгебра, така що R₀ = O_X і R — локально породжена R₁ як O_X-алгебра. Тоді, за визначенням, проєктивний конус R є:

$\mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R=\varinjlim \operatorname {Proj} (R(U))$

де кограниця проходить через відкриті афінні підмножини U в X. За припущенням R(U) має скінченну кількість генераторів степеня один x_i. Отже,

$\operatorname {Proj} (R(U))\hookrightarrow \mathbb {P} ^{r}\times U.$

Тоді $\operatorname {Proj} (R(U))$ має лінійне розшарування O(1), задане пучком гіперплощин ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)$ з $\mathbb {P} ^{r}$; склеювання таких локальних O(1), які узгоджуються локально, дає лінійне розшарування O(1) у $\mathbb {P} (C)$.

Для будь-якого цілого числа n позначення O(n) означає n-ий степінь тензора O(1). Якщо конус C =Spec_XR є повним простором векторного лінійне розшарування E, то O (-1) є тавтологічним лінійним розшаруванням на проєктивному розшаруванні P(E).

Примітка: коли (локальні) генератори R мають степінь, відмінний від одиниці, побудова O(1) все ще проходить, але зі зваженим проєктивним простором замість проєктивного простору; тому отримане O(1) не обов'язково є лінійним розшаруванням. Мовою дивізорів це O(1) відповідає Q-дивізору Картьє.

Література

• Fantechi, Barbara, An introduction to Intersection Theory (PDF)
• Behrend, K.; Fantechi, B. (1 березня 1997). The intrinsic normal cone. Inventiones Mathematicae (англ.). 128 (1): 45—88. doi:10.1007/s002220050136. ISSN 0020-9910.
• William Fulton. (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., т. 2 (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
• § 8 у Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.