Комбінаторна геометрія

Комбінаторна або дискретна геометрія — розділ геометрії, в якому вивчаються комбінаторні властивості геометричних об'єктів та пов'язані з ними конструкції. У комбінаторній геометрії розглядають скінченні і нескінченні дискретні множини або структури базових однотипних геометричних об'єктів (точок, прямих, кіл, многокутників, тіл з однаковим діаметром, цілочисельних ґраток тощо) і ставлять питання, пов'язані з властивостями різних геометричних конструкцій з цих об'єктів або на цих структурах. Проблеми комбінаторної геометрії простягаються від конкретних «предметно»-комбінаторних питань (хоча і не завжди з простими відповідями) — замощення, пакування кіл на площині, формула Піка — до питань загальних і глибоких — гіпотеза Борсука[ru], проблема Нельсона — Ердеша — Гадвігера.

ІсторіяРедагувати

Хоча многогранники, замощення і пакування куль досліджувалися ще Кеплером і Коші, сучасна комбінаторна геометрія почала формуватися в кінці 19-го століття. Одними з перших завдань були: щільність пакування кіл Акселя Туе[ru], проективна конфігурація Штайніца[ru], геометрія чисел Мінковського і проблема чотирьох фарб Френсіса Гутрі[en]).

Приклади задачРедагувати

Уявлення про діапазон задач комбінаторної геометрії дають такі приклади.

 
Ромботришестикутне пакування куль, одне з 11 можливих симетричних пакувань
 
Вісім точок в загальному положенні, для яких немає опуклого п'ятикутника
  • Задача зі щасливим кінцем стверджує, що в будь-якій достатньо великій множині точок у загальному положенні на площині можна знайти  точок, які є вершинами опуклого многокутника. Гіпотезу Ердеша — Секереша про найменше число точок, які обов'язково містять опуклий  -кутник, на сьогодні не доведено. Дана задача є також завданням теорії Рамсея.
  • Теорема Мінковського про опукле тіло. Нехай   — замкнуте опукле тіло, симетричне відносно початку координат    -вимірного евклідового простору, що має об'єм  . Тоді в   знайдеться цілочисельна точка, відмінна від  . Ця теорема поклала початок геометрії чисел.
  • Гіпотеза Борсука стверджує, що будь-яке тіло діаметра   в  -вимірному евклідовому просторі можна розбити на   частину так, що діаметр кожної частини буде меншим, ніж  . Цю гіпотезу було доведено для розмірностей   і  , але спростовано для просторів більшої розмірності. За відомою сьогодні оцінкою вона не правильна для просторів розмірності 64 і більше[2].
  • Задача Данцера — Ґрюнбаума[ru] полягає в пошуку скінченної множини з якомога більшої кількості точок у багатовимірному просторі, між якими можна побудувати тільки гострі кути.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010). «A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing». arXiv:1009.4322v1 [math.MG]. 
  2. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture [Архівовано 26 Грудня 2018 у Wayback Machine.]

ПосиланняРедагувати