Схема Чуа

Схема Чуа або коло Чуа — найпростіше електричне коло, що демонструє режими хаотичних коливань. Була запропонована професором Каліфорнійського університету Леоном Чуа в 1983 році. Схема складається з двох конденсаторів, однієї котушки індуктивності, лінійного резистора і нелінійного резистора з від'ємним опором (зазвичай званого діодом Чуа).

Малюнок 1. Еквівалентна схема для кола Чуа, що складається з лінійних пасивних елементів: котушки індуктивності (L), провідника (R) і двох конденсаторів (C1, C2), а g — нелінійний елемент званий діодом Чуа. У класичному варіанті пропонуються такі значення елементів: L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1 Ф.

Математична модель

Систему рівнянь для кола, зображеного на малюнку 1, можна отримати використовуючи перше правило Кірхгофа і формулу для напруги на котушці індуктивності:

$\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{C_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1}})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{C_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_{C_{2}})+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}},\end{aligned}}\right.$

де $v_{C_{1}}$ і $v_{C_{2}}$ — напруги на ємностях, $i_{L}$ — струм через котушку індуктивності, $g(v_{C_{1}})$ — кусково-лінійна функція, що характеризує діод Чуа, визначена як

$g(v_{C_{1}})=G_{b}v_{C_{1}}+{\frac {1}{2}}(G_{a}-G_{b}){\big (}|v_{C_{1}}+E|-|v_{C_{1}}-E|{\big )}.$

Малюнок 2. Вольт-амперна характеристика діода Чуа. Також показана навантажувальна пряма, від перетину з якою утворюються три точки рівноваги d, 0 −d

Ця нелінійна функція подана графічно на рисунку 2: крутина внутрішньої і зовнішньої ділянок становить G_a і G_b відповідно; при цьому точки ±Е відповідають зламам на графіку.

Виконаємо такі заміни на безрозмірні коефіцієнти:

$m_{0}={\frac {G_{a}}{G}},\quad m_{1}={\frac {G_{b}}{G}},\quad \alpha ={\frac {C_{2}}{C_{1}}},\quad \beta ={\frac {C_{2}}{LG^{2}}},$

$\tau ={\frac {tG}{C_{2}}},\quad x={\frac {v_{C_{1}}}{E}},\quad y={\frac {v_{C_{2}}}{E}},\quad z={\frac {i_{L}}{EG}}.$

Основна система рівнянь запишеться у вигляді

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{d\tau }}&=\alpha {\big (}y-x-h(x){\big )},\\{\frac {dy}{d\tau }}&=x-y+z,\\{\frac {dz}{d\tau }}&=-\beta y,\end{aligned}}\right.$

де

$h(x)=m_{1}x+{\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1}){\big (}|x+1|-|x-1|{\big )}.$

Режими роботи

Малюнок 3. Комп’ютерна модель схеми Чуа за 100 секунд, видно хаотичний атрактор типу "подвійний завиток"

Малюнок 4. Атрактор Чуа для різних значень параметра α

Схема Чуа виявляє хаотичні режими коливань в досить вузькій області параметрів.

Осцилятор Чуа

Термін «Осцилятор Чуа» використовується для розгляду кола Чуа з урахуванням активного опору котушки індуктивності L. Дана схема має ще більше число різноманітних режимів і може бути реалізована практично (малюнок 5).

Малюнок 5. Практична схема осцилятора Чуа. L1 = 8,5 мГн, C1 = 4,8 нФ, C2 = 69 нФ, R = 1,3 кОм

Приймаючи R₀ — активний опір котушки індуктивності L, отримаємо систему рівнянь

$\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{c_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1}})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{c_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_{C_{2}})+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}}+R_{0}i_{L}.\end{aligned}}\right.$

Легкість практичної реалізації, а також наявність відносно простої математичної моделі робить коло Чуа зручною моделлю для вивчення хаосу.

Див. також

• Мемристор

Література

• Кузнецов А. П. Наглядные образы хаоса // Соросівський освітній журнал, 2000, № 11, с. 104—110;
• Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие [Архівовано 3 березня 2019 у Wayback Machine.], — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
• Matsumoto, T. A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit [Архівовано 30 травня 2008 у Wayback Machine.], IEEE Transactions on Circuits & Systems,1984, vol. CAS-31, no. 12, pp. 1055–1058.
• Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family" [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.], IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, no. 11, pp. 1073–1118.
• T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro. «Birth and death of the double scroll», Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan/Feb 1987).

Посилання

• Chua's Circuit diagrams, equations, simulation and pictures [Архівовано 1 березня 2022 у Wayback Machine.] Схеми Чуа, формули, моделювання та фотографії
• Chua's Circuit: Diagram and discussion [Архівовано 26 січня 2012 у Wayback Machine.]
• NOEL laboratory. [Архівовано 20 лютого 2020 у Wayback Machine.] Leon O. Chua's laboratory at the University of California, Berkeley [Архівовано 20 лютого 2020 у Wayback Machine.]
• References [Архівовано 4 лютого 2012 у Wayback Machine.]
• ТИИЭР Те 75 № 8 Серпень 1987