Калібрування векторного потенціалу

Калібрува́ння ве́кторного потенціа́лу — накладення додаткових умов, що дозволяють однозначно обчислити векторний потенціал електромагнітного поля ($\mathbf {A}$) під час розв'язування тих чи інших фізичних задач. Накладені умови є штучними і покликані спростити математичні перетворення. Найбільшого поширення набули калібрування Кулона та калібрування Лоренца, але існують і застосовуються й інші калібрування.

Можливість та сенс калібрування

При введенні векторного ($\mathbf {A}$) та скалярного ($\varphi$) потенціалів електромагнітного поля виникає неоднозначність, що не створює жодних проблем фундаментального плану, але потребує вирішення для проведення розрахунків у конкретних задачах. А саме, перетворення

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$,

$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$,

де $\psi =\psi ({\vec {r}},t)$ — довільна скалярна функція координат (${\vec {r}}$) та часу ($t$), не змінюють вигляду рівнянь Максвелла, отже, допустимі з погляду фізики. Необхідно зупинитися на якомусь виборі цієї функції, причому це можна зробити з міркувань математичної зручності. На практиці фіксують не функцію $\psi$ (за попередньо введених потенціалів), а накладають деяку додаткову умову на самі потенціали.

Приклади калібрувань

Кулонівське калібрування

Куло́нівське калібрува́ння — вибір векторного потенціалу магнітного поля ($\mathbf {A}$) з додатковою умовою

$\operatorname {div} \,\mathbf {A} =0$

Це калібрування застосовують для розгляду нерелятивістських магнітостатичних задач.

Калібрування Лоренца

Калібрува́ння Ло́ренца — вибір векторного потенціалу електромагнітного поля з умовою

$\operatorname {div} \,\mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{\partial \mathbf {\varphi } \over \partial t}=0$, де $\varphi$ — електростатичний потенціал.

Це калібрування застосовується для розгляду динамічних задач. Калібрування Лоренца зберігається при перетвореннях Лоренца і в коваріантній формі його можна записати як

${\partial A_{\mu } \over \partial x_{\mu }}=0$

Калібрування Ландау

Калібрува́ння Ланда́у — вибір векторного потенціалу магнітного поля у вигляді ${\vec {A}}({\vec {r}})=Bx{\vec {e}}_{y}$, де $B$ — магнітна індукція, а ${\vec {e}}_{y}$ — орт у напрямку осі $y$.

Використовується для зручності при розв'язуванні рівняння Шредінгера в магнітному полі, оскільки дозволяє розділити змінні в декартовій системі координат і отримати так звані рівні Ландау.

Симетричне калібрування

Симетри́чне калібрува́ння — вибір векторного потенціалу магнітного поля у вигляді ${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{2}}{\vec {B}}\times {\vec {r}}$, де ${\vec {B}}$ — вектор магнітного поля, а ${\vec {r}}$ — радіус-вектор.

Калібрування Лондонів

Калібрува́ння Ло́ндонів — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

$\operatorname {div} \,{\vec {A}}=0$

${\vec {A}}\cdot {\vec {n}}=0$, де ${\vec {n}}$ — вектор нормалі до поверхні надпровідника.

У цьому калібруванні спрощується запис рівняння Лондонів для лінійної електродинаміки надпровідників.

Калібрування Вейля

Калібрува́ння Ве́йля — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

$\varphi =0$

Інша назва — калібрування Гамільтона

$A_{4}=0$

Калібрування Пуанкаре

Калібрува́ння Пуанкаре́ (мультиполя́рне калібрува́ння) — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0$

Калібрування Фока — Швінгера

Калібрува́ння Фока — Шві́нгера — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +t\cdot \varphi =0$ ,

або

$x^{\mu }A_{\mu }=0$

Калібрування Дірака

$A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}$

Див. також

• Калібрувальна інваріантність