Зворотний степеневий метод

ітеративний алгоритм обчислення власних векторів і значень

Зворотний степеневий метод або метод зворотних ітерацій — ітеративний алгоритм обчислення власних векторів і значень. Дозволяє шукати власний вектор і власне значення довільної матриці. Зазвичай використовується для обчислення власних векторів, якщо для власних значень відомі досить хороші наближення.

В обчислювальному відношенні метод схожий на степеневий метод. Ймовірно, спочатку його розроблено для обчислення резонансних частот у механіці[1].

МетодРедагувати

Нехай є квадратна матриця   і її наближене власне значення  . Початковий вектор   може бути випадковим або відомим наближенням власного вектора. Метод зводиться до послідовного обчислення векторів за формулою

 

де   нормувальні константи.

Зазвичай на кожному кроці просто нормують вектор   до одиничної довжини. Послідовність векторів не обов'язково збігається, але починаючи з деякого кроку будь-який вектор послідовності є власним з точністю до похибок округлення під час множення на матрицю. Йому відповідає найближче до   власне значення. Після того, як знайдено власний вектор  , можна точно обчислити це власне значення за формулою:

 

Що ближче   до власного значення, то швидша збіжність. Коли відомі хороші наближення власних значень, може знадобитися всього 2-3 ітерації.

Обґрунтування і збіжністьРедагувати

Зворотний степеневий метод відрізняється від степеневого методу тільки використовуваною для множення матрицею. Тому він дозволяє знайти власний вектор, відповідний найбільшому за модулем власному значенню матриці  . Власні значення цієї матриці —   де   власні значення матриці  . Найбільше за модулем власне значення відповідає найменшому за модулем значенню  

Власні вектори   і   збігаються, оскільки:

 

Зокрема, якщо задати  , а матриця   має зворотну, ми знайдемо власний вектор з найменшим за модулем власним значенням.

У плані ітерацій зворотний степеневий метод нічим не відрізняється від степеневого методу. Тому доведення його збіжності ідентичне і метод має таку ж лінійну швидкість збіжності.

Якщо невідомі наближення власних значеньРедагувати

Межі для власних значень матриці можна знайти за допомогою векторно підпорядкованої норми матриці. А саме

  для будь-якого власного значення  .

Якщо власні значення матриці досить добре розділені, то вибираючи на відрізку   початкове значення   з досить малим кроком можна знайти всі власні значення і вектори матриці. Однак у цьому випадку ефективнішим може виявитися метод ітерацій Релея.

ПриміткиРедагувати

  1. Ernst Pohlhausen, Berechnung der Eigenschwingungen statisch-bestimmter Fachwerke, ZAMM — Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 1, 28-42 (1921).