Закони Кеплера

Наукові закони, що описують рух планет навколо Сонця

Закони Кеплера — три емпіричні залежності, що описують рух планет навколо Сонця. Названо на честь німецького астронома Йоганеса Кеплера, який працював над ними від 1609 до 1919 року. Ці закони покращили геліоцентричну теорію Миколая Коперника, замінивши кругові траєкторії і епіцикли еліптичними траєкторіями і пояснивши, як швидкості змінюються. Закони кажуть, що:

  1. Орбітою планети є еліпс, де в одному з фокусів знаходиться зірка.
  2. Радіус-вектор планети (тіла Сонячної системи) за рівні проміжки часу описує рівновеликі площі.
  3. Квадрати зоряних періодів обертання планет відносяться, як куби великих півосей їхніх орбіт.
Ілюстрація законів Кеплера.
(1) Орбіти планет є еліпсами з фокусами: F і F1 у першої планети та F і F2 у другої. Сонце перебуває у фокусі F.
(2) Два затінених сектори S і S' мають однакову площу. Відрізок, що з'єднує F з планетою, покриває S і S' за однаковий час.
(3) Часи проходження повної орбіти першою і другою планетою співвідносяться як a13/2 : a23/2.

Кеплер відкрив їх шляхом аналізу спостережень руху Марса навколо Сонця, здійснених данським астрономом Тихо Браге. Кеплер зробив висновок, що інші тіла Сонячної Системи, включно з тими, що є далеко від Сонця, теж мають еліптичні орбіти. Другий закон показує, що коли планета є ближче до зірки, то вона переміщається швидше. Третій закон висловлює, що чим дальше планета знаходиться від зірки, тим менша швидкість її орбіти і навпаки.

Іссак Ньютон показав в 1687, що рахунки, такі як у Кеплера, співпадають з Сонячною Системою з малою похибкою, як наслідок його власних законів руху і закону всесвітнього тяжіння.

Порівняння з роботою КоперникаРедагувати

Закони Кеплера покращили модель Коперника. Якщо не враховувати ексцентричності планетних орбіт, то Кеплер практично погоджувався з Коперником:

  1. Орбіта планети є колом.
  2. Зірка є центром орбіти.
  3. Швидкість орбіти планети є стала.

Ексцентричності планетних орбіт, відомі Кеплеру і Копернику є малі, тому наступні правила дають правильніші наближення до руху планет, але закони Кеплера описують спостереження краще, ніж модель Коперника.

Поправки Кеплера не були очевидні:

  1. Орбіта планети не є колом, а еліпсом.
  2. Зірка знаходиться не в центрі кола, а в фокусі еліпса.
  3. Ні лінійна швидкість, ні кутова орбіти планети не є стала, але секторна швидкість є.

Ексцентричність орбіти Землі робить так, що час від весняного по осіннє рівнодення, який становить приблизно 186 днів, не є рівний часу від осіннього по весняне рівнодення, який є рівний 179 дням. Діаметр би поділив орбіту вдічі, але вісь через Сонце, паралельна екватору Землі ділить орбіту на дві частини, які відносяться як 186 : 179, тому ексцентричність Землі є приблизно рівна:

 

..що є близько до справжнього числа (0.016710218). Щоб цей розрахунок був точний треба, щоб дві вибрані дати були вибрані уздовж меншої осі еліптичної орбіти і щоб середини кожної половини були вздовж більшої осі. Так як вибрані дати є рівноденнями, він буде правильний коли перигелій, дата, коли Земля буде найближче до Сонця, був у день Сонцестояння. Зараз перигелій припадає на 4 січня, що є доволі близько до 21 або 22 грудня.

ФормулюванняРедагувати

Перший закон КеплераРедагувати

Всі планети обертаються навколо Сонця еліптичними орбітами, в одному з фокусів яких перебуває Сонце (всі орбіти планет і тіл Сонячної системи мають один спільний фокус, в якому, власне, і розташовано Сонце).

Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найвіддаленіша від нього — афелієм.

Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра до довжини великої півосі (середньої відстані планети до Сонця). Коли фокуси й центр збігаються, еліпс перетворюється на коло. Орбіти планет — еліпси, які мало відрізняються від кіл; їх ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0,017.

Другий закон КеплераРедагувати

Радіус-вектор планети (тіла Сонячної системи) за рівні проміжки часу описує рівновеликі площі.

Лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її орбіти: що ближча планета до Сонця, то більша її швидкість. Швидкість руху планети у перигелії найбільша, а в афелії — найменша. Однак площа, яку «замітає» радіус-вектор за певний проміжок часу, не залежить від того, в якій частині орбіти перебуває планета. Площа, яку «замітає» радіус вектор за одиницю часу називається секторною (сегментною) швидкістю.

Таким чином, другий закон Кеплера кількісно визначає зміну швидкості руху планети орбітою.

З погляду класичної механіки, другий закон Кеплера є проявом закону збереження моменту імпульсу.

Третій закон КеплераРедагувати

Квадрати зоряних періодів обертання планет відносяться, як куби великих півосей їхніх орбіт.

На відміну від двох перших законів Кеплера, що стосуються властивостей орбіти кожної окремо взятої планети, третій закон пов'язує властивості орбіт різних планет між собою. Якщо сидеричні періоди обертання двох планет   та  , а довжини великих півосей їхніх орбіт, відповідно,   та  , то виконується співвідношення:

 

Цей закон Кеплера пов'язує середні відстані планет від Сонця з їхніми зоряними періодами обертання і надає змогу встановити відносні відстані планет від Сонця, інакше кажучи, дає змогу подати великі півосі всіх планетних орбіт в одиницях великої півосі земної орбіти.

Велику піввісь земної орбіти взято за астрономічну одиницю відстаней, але її абсолютне значення було визначено пізніше, лише у XVIII столітті.

Відношення кубу півосі до квадрата періоду обертання є сталою для всіх планет Сонячної системи і залежить лише від маси Сонця і гравітаційної сталої, як довів пізніше Ньютон:

 .

Таким чином, це співвідношення дає можливість визначити масу Сонця.

Відхилення від законів КеплераРедагувати

З погляду фізики, закони Кеплера описують рух матеріальної точки навколо нерухомого центра мас у межах ньютонівської теорії гравітації. Насправді на рух планети впливає сила тяжіння не лише з боку Сонця, а й з боку інших планет. Сонце має скінченну масу, а отже центр Сонця також рухається внаслідок тяжіння планет. Крім того, ньютонівська теорія не враховує ефекти, які можна розрахувати лише у рамках загальної теорії відносності. Перелічені фактори призводять до збурень — невеликих відхилень фактичного руху планет від законів Кеплера.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.

ПосиланняРедагувати