Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.
Розглянемо оператор
L
u
=
−
d
d
x
(
p
(
x
)
d
u
d
x
)
+
q
(
x
)
u
{\displaystyle Lu=-{\frac {d}{dx}}(p(x){\frac {du}{dx}})+q(x)u}
,
перепишемо його у вигляді:
L
u
=
λ
ρ
(
x
)
u
,
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)}
та введемо додаткові умови
[
A
1
u
(
a
)
−
A
2
u
′
(
a
)
=
0
,
B
1
u
(
b
)
+
B
2
u
′
(
b
)
=
0
]
{\displaystyle \left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a)=0,\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)=0\right]}
.
Надалі будемо вважати, що
p
(
x
)
∈
C
1
(
[
a
,
b
]
)
,
q
(
x
)
,
ρ
(
x
)
∈
C
(
[
a
,
b
]
)
,
{\displaystyle p(x)\in {\mathit {C^{1}}}([a,b]),q(x),\rho (x)\in {\mathit {C}}([a,b]),}
крім того,
p
(
x
)
>
0
,
ρ
(
x
)
>
0
,
q
(
x
)
⩾
0
,
A
1
,
A
2
,
B
1
,
B
2
=
c
o
n
s
t
,
A
1
,
A
2
⩾
0
,
A
1
+
A
2
>
0
,
B
1
,
B
2
⩾
0
,
B
1
+
B
2
>
0
{\displaystyle p(x)>0,\rho (x)>0,q(x)\geqslant 0,\quad A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}=const,A_{1},A_{2}\geqslant 0,A_{1}+A_{2}>0,B_{1},B_{2}\geqslant 0,B_{1}+B_{2}>0}
Формулювання ЗШЛ[1]
ред.
Знайти значення параметра
λ
{\displaystyle \lambda }
при яких існують нетривіальні розв'язки задачі
L
u
=
λ
ρ
(
x
)
u
,
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)}
,
[
A
1
u
(
a
)
−
A
2
u
′
(
a
)
,
B
1
u
(
b
)
+
B
2
u
′
(
b
)
]
,
{\displaystyle \left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a),\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)\right],}
такі, що
u
(
x
)
∈
C
2
(
(
a
,
b
)
)
∩
C
1
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle u(x)\in {\mathit {C^{2}}}((a,b))\cap {\mathit {C^{1}}}([a,b])}
і знайти ці розв'язки.
Введемо область визначення оператора
L
{\displaystyle L}
:
D
L
=
u
∈
C
2
(
(
a
,
b
)
)
∩
C
1
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle D_{L}={u\in {\mathit {C^{2}}}((a,b))\cap {\mathit {C^{1}}}([a,b])}}
,
які задовольняють крайові умови
[
A
1
u
(
a
)
−
A
2
u
′
(
a
)
=
0
,
B
1
u
(
b
)
+
B
2
u
′
(
b
)
=
0
]
{\displaystyle \left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a)=0,\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)=0\right]}
,
і такі, що
u
″
∈
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle u''\in L_{2}(a,b)}
.
Властивості оператора
L
{\displaystyle L}
ЗШЛ[2]
ред.
Якщо довільні функції
u
,
v
{\displaystyle u,v}
належать області
D
L
{\displaystyle D_{L}}
, то має місце рівність:
∫
a
b
(
v
L
u
−
u
L
v
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}(vLu-uLv)\,dx=0}
.
Оператор
L
{\displaystyle L}
ЗШЛ є самоспряженим, тобто
∀
u
,
v
∈
D
L
{\displaystyle \forall u,v\in D_{L}}
виконується
(
L
u
,
v
)
=
(
u
,
L
v
)
{\displaystyle (Lu,v)=(u,Lv)}
.
Оператор
L
{\displaystyle L}
ЗШЛ є додатньовизначеним:
(
L
u
,
u
)
⩾
0
{\displaystyle (Lu,u)\geqslant 0}
.
Власні значення та власні функції ЗШЛ[2]
ред.
Вказані вище значення параметра
λ
{\displaystyle \lambda }
називається власними значеннями ЗШЛ , а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.
Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ[3]
ред.
Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину .
Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho (x)}
, тобто
∫
a
b
ρ
(
x
)
u
1
(
x
)
u
2
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (x)u_{1}(x)u_{2}(x)\,dx=0\,}
, де
u
1
(
x
)
,
u
2
(
x
)
{\displaystyle u_{1}(x),u_{2}(x)}
— власні функції.
Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні.
Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції.
Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.
Примітки
ред.
↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512с.
↑ а б Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712с.
↑ Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2001. — 336 с.