Відкрити головне меню

У диференціальній геометрії, дія групи Лі на многовиді M є груповою дією для групи Лі G на M, що є диференційованим зображенням; зокрема, це неперервна групова дія. Разом з дією групи Лі на G, M називається G-многовидом. Орбітні типи G утворюють стратифікацію М, і це можна використовувати для розуміння геометрії М.

Нехай є груповою дією. Це дія групи Лі, якщо вона диференційована. Таким чином, зокрема, зображення орбіти є диференційованим і можна розрахувати його диференціал на елементі ідентичності G:

.

Якщо X знаходиться в , то його зображення є дотичним вектором на x та, змінюючи x, отримуємо векторне поле на M; мінус цього векторного поля називається фундаментальним векторним полем, асоційованим з X та має позначення . (""Мінус" гарантує, що є гомоморфізмом алгебри Лі). Ядро зображення можна легко показати алгеброю Лі стабілізатора (який замкнений і, таким чином, є підгрупою Лі.)

Нехай основним G-зв'язком. Оскільки G має тривіальні стабілізатори у P, для u в P, - ізоморфізм на підпростір; цей підпростір називається вертикальним підпростором. Таким чином, фундаментальне векторне поле на P є вертикальним векторним полем..

Загалом, орбітальний простір не допускає різноманітну структуру, оскільки, наприклад, він не може бути Гаусдорвовим. Крім того, якщо G - компактний то Гаусдорфів простір і якщо, крім того, дія є вільною, то, є многовидом (фактично, - основний G-зв'язкок.)[1] Це наслідок теореми про фрагмент. Якщо "вільна дія" розслаблена до "кінцевого стабілізатора", то замість цього отримуємо стек фактор.

Підстановкою для побудови частки є борелівська конструкція з алгебраїчної топології: припустимо, що G компактний і нехай позначає універсальне розшарування, яке можна вважати многовидом, оскільки G компактний, і G діє на по діагоналі; дія є вільною, оскільки вона є такою на першому факторі. Таким чином, можна сформувати фактор-множник . Конструкція, зокрема, дозволяє визначити еквіваріантні когомології M; а саме, один набір

,

де права сторона позначає когомологію, що має сенс, оскільки має структуру многовиду (таким чином існує поняття диференціальних форм).

Якщо G компактний, то будь-який G-многовид допускає інваріантну метрику; тобто, Ріманова метрика, щодо якої G діє на М, як ізометрія.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. de Faria, Edson; de Melo, Welington (2010). Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 127. Cambridge University Press. с. 69. ISBN 9781139489805. .