Дія групи Лі

У диференціальній геометрії, дія групи Лі на многовиді M є груповою дією для групи Лі G на M, що є диференційованим зображенням; зокрема, це неперервна групова дія. Разом з дією групи Лі на G, M називається G-многовидом. Орбітні типи G утворюють стратифікацію М, і це можна використовувати для розуміння геометрії М.

Нехай$\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ є груповою дією. Це дія групи Лі, якщо вона диференційована. Таким чином, зокрема, зображення орбіти $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$є диференційованим і можна розрахувати його диференціал на елементі ідентичності G:

${\mathfrak {g}}\to T_{x}M$.

Якщо X знаходиться в ${\mathfrak {g}}$, то його зображення є дотичним вектором на x та, змінюючи x, отримуємо векторне поле на M; мінус цього векторного поля називається фундаментальним векторним полем, асоційованим з X та має позначення $X^{\#}$. (""Мінус" гарантує, що ${\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM)$ є гомоморфізмом алгебри Лі). Ядро зображення можна легко показати алгеброю Лі ${\mathfrak {g}}_{x}$стабілізатора $G_{x}$ (який замкнений і, таким чином, є підгрупою Лі.)

Нехай $P\to M$ основним G-зв'язком. Оскільки G має тривіальні стабілізатори у P, для u в P, $a\mapsto a_{u}^{\#}:{\mathfrak {g}}\to T_{u}P$- ізоморфізм на підпростір; цей підпростір називається вертикальним підпростором. Таким чином, фундаментальне векторне поле на P є вертикальним векторним полем..

Загалом, орбітальний простір $M/G$ не допускає різноманітну структуру, оскільки, наприклад, він не може бути Гаусдорвовим. Крім того, якщо G - компактний то $M/G$ Гаусдорфів простір і якщо, крім того, дія є вільною, то, $M/G$ є многовидом (фактично, $M\to M/G$- основний G-зв'язкок.) Це наслідок теореми про фрагмент. Якщо "вільна дія" розслаблена до "кінцевого стабілізатора", то замість цього отримуємо стек фактор.

Підстановкою для побудови частки є борелівська конструкція з алгебраїчної топології: припустимо, що G компактний і нехай $EG$ позначає універсальне розшарування, яке можна вважати многовидом, оскільки G компактний, і G діє на $EG\times M$ по діагоналі; дія є вільною, оскільки вона є такою на першому факторі. Таким чином, можна сформувати фактор-множник $M_{G}=(EG\times M)/G$. Конструкція, зокрема, дозволяє визначити еквіваріантні когомології M; а саме, один набір

$H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})$,

де права сторона позначає когомологію, що має сенс, оскільки $M_{G}$ має структуру многовиду (таким чином існує поняття диференціальних форм).

Якщо G компактний, то будь-який G-многовид допускає інваріантну метрику; тобто, Ріманова метрика, щодо якої G діє на М, як ізометрія.

Див. також

• Група Лі
• Equivariant differential form
• Ізометрія