Диференціальна алгебра

Диференціальними кільцями, полями і алгебрами називаються кільця, поля і алгебри, з заданим на них диференціюванням — унарною операцією, що задовольняє правилу добутку. Природний приклад диференціального поля — поле раціональних функцій однієї комплексної змінної $C(t)$, операції диференціювання відповідає диференціювання по $t$.

Диференціальні кільця

Диференціальне кільце — кільце R, на якому заданий ендоморфізм (диференціювання)

$\partial \colon R\to R$

що задовольняє правило

$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})$

для будь-яких $r_{1},r_{2}\in R$. В некомутативному кільці правило $d(xy)=xdy+ydx$ може не виконуватися. У безіндексній формі запису, якщо $M\colon R\times R\to R$ — множення в кільці, то правило добутку прийме вигляд

$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ),$

де $f\otimes g$ - відображення пари $(x,y)$ у пару $(f(x),g(y))$.

Властивості

• Якщо x₁, x₂, … ,x_n ∈ A тоді виконується:

$\partial (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}\partial (x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}.\,$

• У випадку комутативного кільця з попереднього випливає $\partial (x^{n})=nx^{n-1}\partial x$
• Для довільного елемента a, що має двосторонній обернений елемент a^-1 справедлива рівність:

$\partial (a^{-1})=a^{-1}\partial aa^{-1}$. Для комутативного випадку вона перепишеться у звичнішому виді: $\partial (a^{-1})=a^{-2}\partial a$.

• Якщо кільце має одиницю то $\partial 1=0$.
• Нехай $\partial ^{2}a=\partial (\partial a),$ $\partial ^{3}a=\partial (\partial ^{2}a),$ і т. д. Тоді:

$\partial ^{n}(ab)=\sum _{i=0}^{n}C_{n}^{i}\partial ^{n-i}a\partial ^{i}b$

• Ідеал I кільця R називається диференціальним, якщо з $a\in I$ випливає $\partial a\in I$. За допомогою диференціального кільця можна задати диференціювання на відповідному фактор-кільцю. Гомоморфізм $h\colon R\to R^{'}$ називається диференціальним, якщо для довільного $r\in R$ виконується рівність $h(\partial r)=\partial ^{'}(hr)$, де $\partial$$\partial ^{'}$ — диференціювання відповідно в кільцях R і R^'.

Ядро довільного диференціального гомоморфізму є диференціальний ідеал. Він є диференціально ізоморфним до фактор-кільця по даному ідеалу.

Дані властивості справедливі і для диференціальних полів та алгебр.

Диференціальні поля

Диференціальне поле — поле K, з операцією диференціювання. Диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца у формі

$\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u$

оскільки множення в полі комутативне. Диференціювання також повинне бути дистрибутивно щодо додавання:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v$

Полем констант диференціального поля $K$ називається $k=\{u\in K|\partial (u)=0\}$.

Диференціальні алгебри

Диференціальною алгеброю над полем K називається K-алгебра A, в якій диференціювання комутують з полем. Тобто для будь-яких $k\in K$ і $x\in A$:

$\ \partial (kx)=k\partial x$

У безіндексній формі запису, якщо $\eta \colon K\to A$ - морфізм кілець, що визначає множення на скаляри в алгебрі, то

$\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial )$

Як і в решті випадків, диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца щодо множення в алгебрі і бути лінійним щодо додавання. Тобто для будь-яких $a,b\in K$ і $x,y\in A$:

$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)$

і

$\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y$

Диференціювання в алгебрі Лі

Диференціювання алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ — лінійне відображення $D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$, що задовольняє правилу Лейбніца:

$\ D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]$

Для будь-якого $a\in {\mathfrak {g}},~\operatorname {ad} (a)$ — диференціювання на ${\mathfrak {g}}$, що виходить з тотожності Якобі. Будь-яке таке диференціювання називається внутрішнім.

Приклади

Якщо $A$ — алгебра з одиницею, то $\partial (1)=0$, оскільки $\partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)$. Наприклад, в диференціальних полях характеристики 0 раціональні елементи утворюють підполе в полі констант.

Будь-яке поле можна розглядати як поле констант.

У полі $\mathbb {Q} (t)$ існує природна структура диференціального поля, що визначається рівністю $\partial (t)=1$: з аксіом поля і диференціювання випливає, що це буде диференціювання по $t$. Наприклад, з комутативності множення і правила Лейбніца випливає, що

$\partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)$

У диференціальному полі $\mathbb {Q} (t)$ немає розв'язку диференціального рівняння $\partial (u)=u$, але можна розширити його до поля, що містить функцію $e^{t}$, що має розв'язок цього рівняння.

Диференціальне поле, що має розв'язок для будь-якої системи диференціальних рівнянь, називається диференціально замкнутим полем. Такі поля існують, хоча вони і не виникають природним чином в алгебрі або геометрії. Будь-яке диференціальне поле (обмеженої потужності) вкладається в більше диференціально замкнуте поле. Диференціальні поля вивчаються в диференціальної теорії Галуа.

Природні приклади диференціювань — часткові похідні, похідні Лі, похідна Піншерле і комутатор щодо заданого елементу алгебри. Всі ці приклади тісно пов'язані з загальною ідеєю диференціювання.

Кільце псевдодиференціальних операторів

Диференціальні кільця і диференціальна алгебра часто вивчаються за допомогою кільця псевдодиференціальних операторів над ними:

$R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.$

Множення в цьому кільці визначається як

$(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.$

Тут ${m \choose k}$ — біноміальний коефіцієнт. Відзначимо тотожність

$\xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}$

наступне

${-1 \choose n}=(-1)^{n}$

і

$r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).$

Градуйоване диференціювання

Нехай $A$ — градуйована алгебра $D$ — однорідне лінійне відображення $d=\left|D\right|$. $D$ називається однорідною похідною, якщо $D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)$, $\epsilon =\pm 1$ при дії на однорідні елементи $A$. Градуированная похідна — це сума однорідних похідних з однаковим $\epsilon$.

Якщо $\epsilon =1$, визначення збігається із звичайним диференціюванням.

Якщо $\epsilon =-1$, то $D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)$, для непарних $\left|D\right|$. Такі ендоморфізми називаються антипохідними.

Приклади антипохідних — зовнішня і внутрішня похідна диференціальних форм.

Градуйовані похідні супералгебр (тобто $\mathbb {Z} _{2}$-градуйованих алгебри) часто називаються суперпохідними.

Література

• Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру ИЛ, 1959 84 p.
• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994