Диференціальна алгебра

Диференціальними кільцями, полями і алгебрами називаються кільця, поля і алгебри, з заданим на них диференціюванням — унарною операцією, що задовольняє правилу добутку. Природний приклад диференціального поля — поле раціональних функцій однієї комплексної змінної , операції диференціювання відповідає диференціювання по .

Диференціальні кільцяРедагувати

Диференціальне кільце — кільце R, на якому заданий ендоморфізм (диференціювання)

 

що задовольняє правило

 

для будь-яких  . В некомутативному кільці правило   може не виконуватися. У безіндексній формі запису, якщо   — множення в кільці, то правило добутку прийме вигляд

 

де   - відображення пари   у пару  .

ВластивостіРедагувати

  • Якщо x1x2, … ,xn ∈ A тоді виконується:
 
  • У випадку комутативного кільця з попереднього випливає  
  • Для довільного елемента a, що має двосторонній обернений елемент a-1 справедлива рівність:
 . Для комутативного випадку вона перепишеться у звичнішому виді:  .
  • Якщо кільце має одиницю то  .
  • Нехай     і т. д. Тоді:
 
  • Ідеал I кільця R називається диференціальним, якщо з   випливає  . За допомогою диференціального кільця можна задати диференціювання на відповідному фактор-кільцю. Гомоморфізм   називається диференціальним, якщо для довільного   виконується рівність  , де    — диференціювання відповідно в кільцях R і R'.
Ядро довільного диференціального гомоморфізму є диференціальний ідеал. Він є диференціально ізоморфним до фактор-кільця по даному ідеалу.

Дані властивості справедливі і для диференціальних полів та алгебр.

Диференціальні поляРедагувати

Диференціальне поле — поле K, з операцією диференціювання. Диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца у формі

 

оскільки множення в полі комутативне. Диференціювання також повинне бути дистрибутивно щодо додавання:

 

Полем констант диференціального поля   називається  .

Диференціальні алгебриРедагувати

Диференціальною алгеброю над полем K називається K-алгебра A, в якій диференціювання комутують з полем. Тобто для будь-яких   і  :

 

У безіндексній формі запису, якщо   - морфізм кілець, що визначає множення на скаляри в алгебрі, то

 

Як і в решті випадків, диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца щодо множення в алгебрі і бути лінійним щодо додавання. Тобто для будь-яких   і  :

 

і

 

Диференціювання в алгебрі ЛіРедагувати

Диференціювання алгебри Лі   — лінійне відображення  , що задовольняє правилу Лейбніца:

 

Для будь-якого   — диференціювання на  , що виходить з тотожності Якобі. Будь-яке таке диференціювання називається внутрішнім.

ПрикладиРедагувати

Якщо  алгебра з одиницею, то  , оскільки  . Наприклад, в диференціальних полях характеристики 0 раціональні елементи утворюють підполе в полі констант.

Будь-яке поле можна розглядати як поле констант.

У полі   існує природна структура диференціального поля, що визначається рівністю  : з аксіом поля і диференціювання випливає, що це буде диференціювання по  . Наприклад, з комутативності множення і правила Лейбніца випливає, що

 

У диференціальному полі   немає розв'язку диференціального рівняння  , але можна розширити його до поля, що містить функцію  , що має розв'язок цього рівняння.

Диференціальне поле, що має розв'язок для будь-якої системи диференціальних рівнянь, називається диференціально замкнутим полем. Такі поля існують, хоча вони і не виникають природним чином в алгебрі або геометрії. Будь-яке диференціальне поле (обмеженої потужності) вкладається в більше диференціально замкнуте поле. Диференціальні поля вивчаються в диференціальної теорії Галуа.

Природні приклади диференціювань — часткові похідні, похідні Лі, похідна Піншерле і комутатор щодо заданого елементу алгебри. Всі ці приклади тісно пов'язані з загальною ідеєю диференціювання.

Кільце псевдодиференціальних операторівРедагувати

Диференціальні кільця і диференціальна алгебра часто вивчаються за допомогою кільця псевдодиференціальних операторів над ними:

 

Множення в цьому кільці визначається як

 

Тут  біноміальний коефіцієнт. Відзначимо тотожність

 

наступне

 

і

 

Градуйоване диференціюванняРедагувати

Нехай  градуйована алгебра   — однорідне лінійне відображення  .   називається однорідною похідною, якщо  ,   при дії на однорідні елементи  . Градуированная похідна — це сума однорідних похідних з однаковим  .

Якщо  , визначення збігається із звичайним диференціюванням.

Якщо  , то  , для непарних  . Такі ендоморфізми називаються антипохідними.

Приклади антипохідних — зовнішня і внутрішня похідна диференціальних форм.

Градуйовані похідні супералгебр (тобто  -градуйованих алгебри) часто називаються суперпохідними.

ЛітератураРедагувати

  • Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру ИЛ, 1959 84 p.
  • Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
  • E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
  • D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
  • A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994