Бінарна операція
Біна́рна опера́ція (двомісна операція) — це математичне правило комбінування двох елементів (які називаються операндами), для отримання іншого елемента. Формально, це операція арності 2 (див. Містність операції).
Бінарна операція | |
![]() | |
Попередник |
унарна операція ![]() |
---|---|
Наступник |
тернарна операція ![]() |
Підтримується Вікіпроєктом |
Вікіпедія:Проєкт:Математика ![]() |
![]() ![]() |
Визначення
ред.Бінарною операцією на множині є відображення декартового добутку в множину :
Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, a • b, замість функціонального запису f(a, b).
Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.
Бінарні операції є наріжним каменем алгебричних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі.
Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця, поля тощо.
За визначенням: магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.
Типи бінарних операцій
ред.Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи.
Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.
Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), композиція функцій.
Деякі операції мають властивість ідемпотентності чи дистрибутивності.
Приклади бінарних операцій
ред.- арифметичні дії з числами: додавання, віднімання, множення, ділення;
- додавання, множення матриць;
- об'єднання і перетин множин;
- добуток графів.
Зовнішні бінарні операції
ред.Зовнішня бінарна операція — це бінарна операція з в . Вона відрізняється від бінарної операції тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".
Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S — векторним простором над цим полем.
Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як групову дію: K діє на S.
Див. також
ред.Література
ред.- Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
- Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
Посилання
ред.- Jessica K. Sklar. Pacific Lutheran University 2.1: Бінарні операції та структури
- Жучок Ю.В. (2020) Класифікація двоелементних допельнапівгруп. Фізико-математична освіта. 2020. Випуск 3(25). Частина 2. С. 38-42. doi:10.31110/2413-1571-2020-025-3-023
- Weisstein, Eric W. Binary Operation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Бінарна операція // ВУЕ