Гіпотеза Андріци

Гіпотеза Андріци — гіпотеза щодо інтервалів між простими числами, згідно з якою нерівність:

Графічне свідчення на підтримку гіпотези Андріци для перших (а) 100, (б) 200 і (в) 500 простих чисел. Функція $A_{n}$ завжди менша від 1.

${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1$

виконується для всіх $n$, де $p_{n}$ є $n$ -м простим числом. якщо $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ означає $n$ -й інтервал, то гіпотезу Андріци можна переписати як:

$g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1$.

Сформулював румунський математик Дорін Андріца 1986 року .

Емпіричне підтвердження

На початку 2000-х років з використанням даних про найбільші інтервали простих чисел гіпотезу перевірено аж до $1{,}3002\times 10^{16}$. Використовуючи таблицю максимальних інтервалів і нерівність для інтервалів, можна розширити значення підтвердження аж до $4\times 10^{18}$.

Існує графічна ілюстрація гіпотези: для дискретної функції $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ (функції Андріци) найбільше значення спостерігається в точці $n=4$ зі значенням $A_{4}\approx 0{,}670873\dots$, і більших значень немає серед перших 10⁵ простих чисел. Оскільки функція Андріци асимптотично спадає в міру зростання $n$, гіпотеза з великою ймовірністю правильна, але залишається недоведеною.

Узагальнення

Як узагальнення гіпотези Андріци розглядається така рівність:

$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,$

де $p_{n}$ — $n$-е просте, а $x$ може бути будь-яким додатним (дійсним) числом.

Найбільший можливий розв'язок за $x$ знаходиться при $n=1$, коли $x_{\max }=1$. Є гіпотеза, що найменше значення $x$ дорівнює $x_{\min }\approx 0{,}567148\dots$, яке знаходиться при $n=30$.

Ця гіпотеза формулюється у вигляді нерівності, яка узагальнює гіпотезу Андріци:

$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1$ для $x<x_{\min }$.

Див. також

• Гіпотеза Крамера
• Гіпотеза Лежандра
• Гіпотеза Фірузбехта

Література

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.
• Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. — 1986. — Т. 31, № 4. — С. 44–48. — ISSN 0252-1938.
• Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. — John Wiley & Sons, Inc., 2005. — ISBN 0-471-46234-9.

Посилання

• Andrica 's Conjecture на PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture [Архівовано 27 грудня 2019 у Wayback Machine.] на PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.