Гіперобчислення

Гіперобчисленнями або надтюринговими обчисленнями, (англ. hypercomputation) називають такі обчислення, які не можуть бути виконані на машині Тюрінга. Вони включають в себе різноманітні гіпотетичні методи, засновані на суперрекурсивних алгоритмах[en], а також деякі інші типи обчислень — наприклад, інтерактивні обчислення. Термін гіперобчислення був вперше введений Джеком Коуплендом[en] та Діаною Праудфут[1].

Терміни не можна назвати синонімами: «надтюрингове обчислення» на відміну від «гіперобчислення», як правило, означає, що запропонована модель повинна бути фізично реалізованою.

Можливість фізичної реалізації таких обчислень активно обговорюється.

ІсторіяРедагувати

Моделі більш потужні, ніж машина Тюрінга, були введені Аланом Тюрінгом в його роботі 1939 року Системи логік, засновані на ординалах[en][2]. Ця робота досліджувала математичні системи, в яких існував оракул, який міг вирахувати одну довільну нерекурсивну функцію на множині натуральних чисел. Він використав цю модель для того, щоб показати, що навіть у такій, більш потужній системі, все одно присутні необчислювані функції. У своїй роботі Тюрінг ясно дав зрозуміти, що така модель є не більш ніж математичною абстракцією і не може бути реалізована в реальному світі[3].

Передбачувані способи гіперобчиленняРедагувати

  • Машина Тюрінга, яка може виконати нескінченну кількість кроків за кінцевий час (просто можливість роботи машини Тюрінга протягом нескінченного часу (тобто потенційна нескінченність) недостатня). Один з передбачуваних способів досягти такого результату — використовувати уповільнення часу для того, щоб дозволити комп'ютеру зробити нескінченну кількість циклів за кінцевий по годинах для зовнішнього спостерігача час (таке обчислення потребують нескінченної енергії — див. простір-час Маламета — Хогарта). Ще одним, чисто математичним, способом є так звана машина Зенона, заснована на парадоксі Зенона. Машина Зенона виконує свій перший крок обчислень за час, наприклад, 1 хвилину, другий за ½ хвилини, третій за ¼ хвилини і т. д. Підсумовуючи цю нескінченну геометричну прогресію, ми отримаємо, що машина виконує нескінченну кількість кроків протягом 2 хвилин. Однак, деякі стверджують, що, відповідно до міркуваннь в парадоксі Зенона, така машина не лише фізично, а й логічно неможлива.[4]
  • Оригінальні оракул-машини Тюринга, що були ним винайдені у 1939.
  • Дійсний комп'ютер (підвид ідеалізованого аналогового комп'ютера) здатний здійснювати гіперобчислення[5] за умови, що фізика припускає існування справжніх дійсних чисел. Це, ймовірно, вимагає існування якихось дуже дивних законів фізики (наприклад наявності вимірної фізичної константи, яка може бути використана як оракул — див., наприклад, константа Хайтина[en]) та повинно, як мінімум, вимагати можливості вимірювання фізичних констант з довільною точністю, незважаючи на тепловий шум і квантовомеханічні ефекти.
  • Вічна машина Тюрінга — це узагальнення машини Зенона, яка може виконати невизначено тривале обчислення, кроки в якому перенумеровані потенційно трансфінітно ординальними числами. Вона моделює звичайну у всіх інших сенсах машину Тюрінга, для якої незупинні обчислення завершуються шляхом досягнення спеціального стану, зарезервованого для досягнення граничного ординалу[en], і для якої доступні результати всіх попередніх нескінченних обчислень.[6]
  • Квантовомеханічні системи, які якимось чином використовують, наприклад, нескінченну суперпозицію станів для обчислення необчислюваних функцій.[7] Це неможливо при використанні стандартного квантового комп'ютера, оскільки доведено, що звичайний квантовий комп'ютер PSPACE-зводимий (квантовий комп'ютер, що працює поліноміальний час, може бути змодельований на класичному комп'ютері, що використовує поліноміальний простір).[8]
  • Техніка, відома як необмежений детермінізм, може дозволяти обчислення необчислюваних функцій. Це питання є предметом обговорення в літературі.
  • Використання замкнених часоподібних кривих[ru], всупереч поширеній думці, не дозволяє виконувати надтюрінгове обчислення, оскільки відсутній нескінченний об'єм пам'яті.
  • На початку 1990-х Хава Сігельманн[9] запропонувала модель, засновану на нескінченній еволюції нейронних мереж, здатну проводити гіперобчислення.[10]

Аналіз можливостейРедагувати

Надтюрингові обчислення мають багато пропозицій альтернативних способів, щоб прочитати оракул або консультативну функцію[en] вбудовані в іншому випадку класичної машині. Інші надають доступ до деяких вищих рівнів арифметичної ієрархії[en]. Наприклад, багатофунуціональна машини Тюрінга, при звичайних припущеннях, зможе обчислити будь-який предикат, який містить   або  . За допомогою обмеження рекурсії, навпаки, можна обчислити будь-який предикат або функцію у відповідному тюринговому ступені, який, як відомо,  .

Модель Обчислювані предикати Примітки Посилання
Баготофункціональність tt( ) Залежно від зовнішнього спостерігача
Обмеження / проб і помилок  
Повторне обмеження ( K разів)  
Простір Маламента-Хогарта[en] HYP[en] Залежно від просторово-часової структури [11]
Аналоговорецидивуюча нейронна мережа   [12][13]
Недетермінована машина Тюрінга   [14]
Підвищення функції оракула   Для моделі з однією послідовності;  

КритикаРедагувати

Мартін Девіс, у своїх працях по надтюринговому обчисленню[15][16] відноситься до цієї теми, як до «міфу» та пропонує контраргументи до фізичної реалізованості надтюрингових обчислень. Що стосується його теорії, він полемізує й стверджує, що це нове поле засноване в 1990-х. Ця точка зору ґрунтується на історії теорії обчислюваності (ступеня нерозв'зності, обчислюваності над функціями, дійсних чисел та порядкових).

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Коупленд та Праудфут, Alan Turing's forgotten ideas in computer science Архівовано 11 листопада 2013 у Wayback Machine.. Scientific American, Квітень 1999
  2. Алан Тюринг, 1939, Systems of Logic Based on Ordinals Proceedings London Mathematical Society Volumes 2-45, Issue 1, pp. 161–228.[1]
  3. «Припустимо, що ми отримали якийсь спосіб вирішення проблем теорії чисел, оракул, який дає вирішення таких завдань. Ми не повинні далі заглиблюватися в питання природи оракула, за винятком того, що він не може бути машиною» (Нерозв'язана 167 стр, перевидання праці Тюринга Systems of Logic Based On Ordinals)
  4. Див. наприклад Shagrir, O. Super-tasks, accelerating Turing machines and uncomputability // Theor. Comput. Sci. 317, 1-3. — 2004. — Т. 317 (1 червня). — С. 105–114. — DOI:10.1016/j.tcs.2003.12.007. Архівовано з джерела 21 липня 2011.
  5. Арнольд Шенхаге, «On the power of random access machines», in Proc. Intl. Colloquium on Automata, Languages, and Programming (ICALP), pages 520–529, 1979. Source of citation: Ааронсон, Скотт|Scott Aaronson, «NP-complete Problems and Physical Reality» p. 12
  6. Джоел Девід Хемкінс та Енді Льюіс, Infinite time Turing machines Архівовано 5 жовтень 2011 у Wayback Machine., Journal of Symbolic Logic, 65(2):567—604, 2000.
  7. Існують твердження на користь цього; дивись наприклад Tien Kieu. Quantum Algorithm for the Hilbert's Tenth Problem // Int. J. Theor. Phys.. — 2003. — Т. 42. — С. 1461–1478. — DOI:10.1023/A:1025780028846. та процитовану там літературу. Помилки підходу Kieu були вказані Warren D. Smith у Three counterexamples refuting Kieu's plan for «quantum adiabatic hypercomputation»; and some uncomputable quantum mechanical tasks Архівовано 6 березень 2010 у Wayback Machine.
  8. Bernstein and Vazirani, Quantum complexity theory, SIAM Journal on Computing, 26(5):1411—1473, 1997.
  9. : BINDS lab: HAVA'S BIO :
  10. Verifying Properties of Neural Networks p.6
  11. P.D. Welch. The extent of computation in Malament-Hogarth spacetimes // British J. for Philosophy of Science. — 2009. — Т. 59 (10 вересня). — С. 659–674. — arXiv:gr-qc/0609035.
  12. Hava Siegelmann. Computation Beyond the Turing Limit // Science. — 1995. — Т. 268, вип. 5210 (1 квітня). — С. 545–548. — DOI:10.1126/science.268.5210.545. — PMID:17756722.
  13. Hava Siegelmann. Analog Computation via Neural Networks // Theoretical Computer Science. — 1994. — Т. 131, вип. 2. — С. 331–360. — DOI:10.1016/0304-3975(94)90178-3.
  14. Joel David Hamkins. Infinite Time Turing machines // Journal of Symbolic Logic. — 2000. — Т. 65, вип. 2. — С. 567-604. — DOI:10.2307/2586556.
  15. Davis, Martin (2006). Why there is no such discipline as hypercomputation. Applied Mathematics and Computation 178 (1): 4–7. doi:10.1016/j.amc.2005.09.066. 
  16. Davis, Martin (2004). The Myth of Hypercomputation. Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker. Springer.