Гіперболічні функції

математична функція
(Перенаправлено з Гіперболічний синус)

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.

sh, ch та th

Визначення ред.

 
Визначення гіперболічних функцій через гіперболу

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

  • гіперболічний синус:
  (в іноземній літературі позначається  ).

Існує сленгова назва: «шинус».

  • гіперболічний косинус:
  (в іноземній літературі позначається  ).

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».

Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

  • гіперболічний тангенс:
  (в іноземній літературі позначається  ).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

  • гіперболічний котангенс:
 ,
  • гіперболічні секанс і косеканс:
 ,
 .

Властивості ред.

 
Один зі способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло

Зв'язок з тригонометричними функціями ред.

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

 .

 .

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важливі тотожності ред.

  1.  .
  2. Парність:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  .
  3. Формули додавання:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  .
  4. Формули подвоєного кута:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  ,
    6.  .
  5. Формули кратних кутів:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  ,
    6.  .
  6. Добуток
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  .
  7. Суми
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  .
  8. Формули пониження степеня
    1.  ,
    2.  .
  9. Похідні:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  ,
    6.  .
  10. Інтеграли:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  .
Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Нерівності ред.

При всіх   виконується

  1.  ,
  2.  .

Розкладання в степеневі ряди ред.

 ,
 ,
 ,
  (Ряд Лорана).

Тут   — числа Бернуллі.

Графіки ред.

 
sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивості ред.

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках  , де   — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок  , лишки в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. також ред.

Посилання ред.

  • Гіперболічні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 184. — 594 с.
  • Гиперболические функции - sh, ch, th, cth, sech, csch. www.math10.com. Архів оригіналу за 20 липня 2021. Процитовано 20 липня 2021.  (рос.)
  • Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1800+ с.(укр.)