Гармонічна прогресія (математика)

У математиці гармонічна прогресія^[1] (або гармонічна послідовність) — прогресія, утворена з обернених величин членів арифметичної прогресії.

Еквівалентно, послідовність є гармонічною прогресією, коли кожен член (крім першого) є середнім гармонічним сусідніх членів.

Третій еквівалентний опис: це нескінченна послідовність виду

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,

де a не дорівнює нулю і −a/d не є натуральним числом, або скінченна послідовність виду

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,\ {\frac {1}{a+kd}},

де a не дорівнює нулю, k — натуральне числом і −a/d не є натуральним числом або є більшим за k.

Приклади

Далі $n$ — натуральне число з послідовності: $\ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \$

$1,{\tfrac {\ 1\ }{2}},\ {\tfrac {\ 1\ }{3}},\ {\tfrac {\ 1\ }{4}},\ {\tfrac {\ 1\ }{5}},\ {\tfrac {\ 1\ }{6}},\ \ldots \,\ {\tfrac {\ 1\ }{n}},\ \ldots \$ називається гармонічною послідовністю
$12,6,4,3,{\tfrac {12}{\ 5\ }},\ 2,\ \ldots \ ,\ {\tfrac {12}{\ n\ }},\ \ldots \$
$30,-30,-10,-6,-{\tfrac {30}{\ 7\ }},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {30}{\ \left(3\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \$
$10,30,-30,-10,-6,\ldots \ ,\ {\tfrac {30}{\ \left(5\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \$

Суми гармонічних прогресій

Нескінченні гармонічні прогресії не сумовні (сума прямує до нескінченності).

Неможливо, щоб сума гармонічної прогресії різних одиничних дробів (окрім тривіального випадку, коли a = 1 і k = 0) дорівнювала цілому числу. Причина полягає в тому, що принаймні один знаменник прогресії обов'язково матиме дільником просте число, на яке не ділиться жоден інший знаменник.^[2]

Використання в геометрії

Якщо колінеарні точки A, B, C і D такі, що D є гармонічним спряженням C відносно A і B, то відстані від будь-якої з цих точок до трьох інших точок утворюють гармонічну прогресію.^[3]^[4] Зокрема, кожна з послідовностей AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB і DA, DC, DB — це гармонічні прогресії, де кожну з відстаней зазначено відповідно до фіксованої орієнтації прямої.

У трикутнику, якщо висоти утворюють арифметичну прогресію, то сторони утворюють гармонічну прогресію.

Задача про стопку цегли

Докладніше: Задача про стопку цегли

Прикладом гармонічної прогресії є похила вежа лір. У ній однорідні блоки складають один на одного, щоб досягти найбільшого зміщення вбік. Блоки складають на 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, … ширини вбік відносно попереднього блока. Це гарантує, що центр ваги лежить саме в центрі конструкції, щоб вона не зруйнувалася. Незначне збільшення ваги конструкції призводить до її нестійкості та падіння.

Див. також

Примітки

↑ Тімченко Владислав. Гармонічна, квадратична, логарифмічна та степенева прогресії // Збірник праць студентів фізико-математичного факультету СумДПУ імені А.С.Макаренка. — Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, 2023. — С. 79-84.
↑ Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása [Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák] (PDF), Mat. Fiz. Lapok (Hungarian) , 39: 17—24. As cited by Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., т. 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, с. 289—309, doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600.
↑ Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II by Richard Townsend (1865) p. 24
↑ Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise by John Alexander Third (1898) p. 44

Література

Mastering Technical Mathematics by Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221
Standard mathematical tables by Chemical Rubber Company (1974) p. 102
Essentials of algebra for secondary schools by Вебстер Веллз^[en] (1897) p. 307

[1] Тімченко Владислав. Гармонічна, квадратична, логарифмічна та степенева прогресії // Збірник праць студентів фізико-математичного факультету СумДПУ імені А.С.Макаренка. — Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, 2023. — С. 79-84.

[2] Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása [Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák] (PDF), Mat. Fiz. Lapok (Hungarian) , 39: 17—24. As cited by Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fractions, Erdős centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., т. 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, с. 289—309, doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600.

[3] Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II by Richard Townsend (1865) p. 24

[4] Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise by John Alexander Third (1898) p. 44

[1]

[2]

[3]

[4]