Фермі-газ

Фермі́-газ, або ідеа́льний газ Фермі́ — Дірака — газ, що складається з ферміонів, частинок, які підпорядковуються статистиці Фермі—Дірака. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Газ Фермі—Дірака при нульовій температурі

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе — Ейнштейна) при $T=0$ дорівнює $W_{0}=0$. Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу $W_{0}$ із $N$ частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із $N$ квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія $W_{0}$ такого газу при $T=0$ буде відмінною від нуля.

Величину $W_{0}$ не важко обчислити. Позначивши через $\mu _{0}$ енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при $T=0$. При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче $\mu _{0}$ буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище $\mu _{0}$ будуть вільними. Тому повинно існувати точно $N$ станів з енергією нижче або рівній $\mu _{0}$. Цієї умови достатньо для знаходження $\mu _{0}$. Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам $\mathbf {k}$ інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на $h^{3}$:

${\frac {g}{h^{3}}}\iint _{}^{}4\pi p^{2}\,dr\,dp=V{\frac {g}{h^{3}}}\int _{}^{}4\pi p^{2}\,dp$

де $g-\$ число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число $g=2\$, для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від $p=0$ до значення $p_{0}$, визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при $T=0$ стану з енергією $\mu _{0}=(2m)^{-1}p_{0}^{2}$, та прирівнюючи результат до $N$, отримуємо із врахуванням того, що $\rho =N/V$:

$N=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}p_{0}^{3}=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}(2m\mu _{0})^{2/3}$

$p_{0}=({\frac {3}{4\pi g\rho }})^{1/3}h$

$\mu _{0}={\frac {p_{0}^{2}}{2m}}={\frac {h^{2}}{2m}}({\frac {3}{4\pi g\rho }})^{2/3}$

або для електронів з $g=2\$:

$\mu _{0}={\frac {h^{2}}{8m}}({\frac {3\rho }{\pi }})^{2/3},g=2$

Величину $\mu _{0}$, найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Газ Фермі—Дірака при скінченній температурі

Для ненульових значень параметра $\beta =1/kT$ густину числа електронів $N(\epsilon )$ в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

${\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{-3/2}\int _{}^{}\epsilon ^{1/2}\,d\epsilon$

на множник ${\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}$, який дає число електронів на один квантовий стан:

$N(\epsilon )={\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{-3/2}{\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}$

де величина $\mu _{0}$ є хімічний потенціал при $T=0$, а $\mu$- хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням $\epsilon$, то ми можемо визначити $\mu$ як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до $\int _{0}^{\infty }N(\epsilon )\,d\epsilon$ повного числа частинок $N$. Звідси видно, що для $N(\epsilon )$ величина $mu$ є функція параметрів $mu_{0}$ та $\beta$.

Енергію можна знайти із співвідношення:

$W=\int _{0}^{\infty }\epsilon N(\epsilon )\,d\epsilon$,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

$I=\int _{0}^{\infty }f(\epsilon )g(\epsilon )\,d\epsilon$,

в якому функція $f(\epsilon )$ є деяка проста та неперервна функція від $\epsilon$, наприклад $\epsilon ^{1/2}$ або $\epsilon ^{3/2}$, та

$g(\epsilon )={\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}$.

Слід відзначити, що для більшості металів величина $\mu _{0}/k$ має порядок від $5\cdot 10^{4}$ до $10^{5}$ К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

$\mu =\mu _{0}[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\beta \mu _{0})^{-2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}(\beta \mu _{0})^{-4}+...]$,

яке виражає хімічний потенціал $\mu$ через параметри $\beta$ та $\mu _{0}$- хімічний потенціал при $T=0$. Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає $(\beta \mu _{0})^{-2}\approx 10^{-4}$, що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

Див. також

• Енергія Фермі
• Рівень Фермі
• Модель Фермі-газу

Література

• Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

Посилання

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002 [Архівовано 19 вересня 2008 у Wayback Machine.]
• Seiringer, Robert -; The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas — Commun. Math. Phys. 261, 729—758 (2006) [Архівовано 15 липня 2008 у Wayback Machine.]
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004 [Архівовано 27 серпня 2008 у Wayback Machine.]