Відкрити головне меню

Вікіпедія - чудесне місце щоб отримувати нові знання. Але, вона трохи хаотична, не має ні початку ні кінця-краю, тому вчитись цілеспрямовано якось незручно. Якщо треба швидко дізнатись про щось - вона як енциклопедія підходить. Але, щоб розібратись наприклад в математиці, потрібен якийсь порядок, який відмінний від алфавітного. Цей порядок є топологічним сортуванням графа залежностей розуміння одних понять від розуміння інших. Тому в університетах і складені та затверджені курси, що задають план навчання. Вікіпедії цього бракує, тому варто б додати.

Можливо, колись це перенесеться в основний простір статтей, наприклад в математичний портал. А також можна було б потім зручно та швидко сформувати щось на вікіпідручнику.

Крім того - це може бути чудовою базою для підготовки до екзаменів.

Дивіться також: Вікіпедія:Проект:Тематичне поповнення/Індекс:Математика

Індекс УДК 51 (Математика)Редагувати

  • 510 Фундаментальні та загальні питання математики
  • 511 Теорія чисел
  • 512 Алгебра
  • 514 Геометрія
  • 515.1 Топологія
  • 517 Аналіз
  • 519.1 Комбінаторний аналіз. Теорія графів
  • 519.2 Ймовірність. Математична статистика
  • 519.6 Обчислювальна математика
  • 519.7 Математична кібернетика
  • 519.8 Дослідження операцій


Абстрактна алгебраРедагувати

Теорія чиселРедагувати

КриптографіяРедагувати

Теорія множинРедагувати

Входить в матаналіз, алгебру, та дискретну математику.

  1. Множина
  2. Кортеж
  3. Декартів добуток
  4. Відношення
  5. Функція
  6. Діаграми Венна
  7. ...

Математичний аналізРедагувати

Диференціальні рівнянняРедагувати

  1. Диференціальне рівняння першого порядку, загальний і частинний розв’язки. Основні визначення.
  2. Детермінованмий еволюційний процес. Фазовий простір. Геометричне визначення диференціального рівняння та його розв’язку.
  3. Поле напрямлень. Пряма і обернена задачі.
  4. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними та такі, що зводяться до них.
  5. Однорідні диференціальні рівняння.
  6. Лінійне диференціальне рівняння, рівняння Бернулі, рівняння Ріккаті.
  7. Диференціальне рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.
  8. Методи інтегрування диференціальних рівнянь першого порядка не розв’язаних відносно похідної.
  9. Рівняння Лагранжа та Клеро.
  10. Задача Коші. Теорема існування та единості розв’язку задачі Коші. Продовження розв’язку.
  11. Основні теореми. Особливі розв’язки.
  12. Фазові потоки.
  13. Дія дифеоморфізмів на векторні поля і фазові потоки.
  14. Можливість інтегрування рівняння першого порядку в явному вигляді.
  15. Диференціальне рівняння порядку вище першого. Задача Коші. Теорема існування та єдиності.
  16. Рівняння, що допускають пониження порядку.
  17. Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку. Загальна теорія.
  18. Неоднорідне лінійне рівняння. Метод Лагранжа.
  19. Неоднорідне лінійне рівняння. Метод Коші.
  20. Однорідне лінійне диференціальне рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.
  21. Однорідне рівняння Ейлера.
  22. Неоднорідне лінійне диференціальне рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Підбір окремого частинного розв’язку рівняння.
  23. Крайові задачі для лінійного рівняння другого порядку.
  24. Метод зведення граничної задачі до двох задач Коші.
  25. Метод факторизації.
  26. Функція Гріна та її властивості.
  27. Лінійні системи диференціальних рівнянь. Основні властивості.
  28. Однорідні системи зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.

Варіаційне численняРедагувати

Теорія керуванняРедагувати

Теорія функцій комплексної змінноїРедагувати

  1. Комплексні числа та основні операції з комплексними числами. Корінь цілої степені з комплексного числа.
  2. Основні елементарні функції комплексної змінної.
  3. Багатозначні функції комплексної змінної.
  4. Аналітичні функції. Умови Коші-Рімана.
  5. Інтеграл функції комплексної змінної.
  6. Інтегральна теорема Коші.
  7. Інтегральна формула Коші та наслідки з неї.
  8. Числові і функціональні ряди. Ряд Тейлора.
  9. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Класифікація особливих точок однозначного характера.
  10. Лишки функції комплексної змінної. Теорема лишків.
  11. Лема Жордана. Застосування теореми лишків для обчислення невласних інтегралів.
  12. Випадок існування особливих точок на дійсній осі.
  13. Перетворення Лапласа та його основні властивості.
  14. Обернене перетворення Лапласа. Використання перетворення Лапласа для розв’язання диференціальних рівнянь.
  15. Інтегральні перетворення Фур’є та Мелліна.
  16. Застосування інтегральних перетворень для розв’язання інтегральних рівнянь.

КомбінаторикаРедагувати

Входить в дискретну математику та теорію ймовірностей.

Теорія графівРедагувати

Входить в дискретну математику, та алгоритміку.

Теорія ймовірностей та математична статистикаРедагувати

Список питань до екзамену з курсу ТЙ та МС 2009/2010 р.Редагувати

  1. Скінченна та зліченна ймовірністна схема
  2. Геометричне визначення імовірностей. Приклад Бюффона.
  3. Аксіоматика теорії ймовірностей
  4. Умовні ймовірності, незалежність подій. Приклад Бернштейна.
  5. Формула повної ймовірності та формула Байєса. Задача про розорення.
  6. Дискретні випадкові величини
  7. Схема випробувань Бернуллі
  8. Закон розподілу дискретної випадкової величини
  9. Біноміальний, гіпергеометричний, геометричний, та пуассонівський розподіли.
  10. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, та його властивості.
  11. Моменти n-того порядку. Дисперсія випадкової величини та її властивості.
  12. Багатовимірні дискретні випадкові величини. Незалежність випадкових величин.
  13. Властивості математичного сподівання та дисперсії для незалежних випадкових величин.
  14. Коваріація, коефіцієнт кореляції та їх властивості.
  15. Нерівність Чебишева та закон великих чисел. Поняття збіжності за ймовірністю.
  16. Цілочисельні випадкові величини, та їх генератриси.
  17. Факторіальні моменти і формули для їх підрахунку.
  18. Багатовимірні генератриси. Генератриси сум незалежних випадкових величин.
  19. Гіллясті процеси.
  20. Слабка збіжність дискретних випадкових величин. Теорема Пуассона.
  21. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.
  22. Визначення випадкової величини у загальному випадку.
  23. Функція розподілу та її властивості.
  24. Закон розподілу випадкової величини у загальному випадку. Теорема Каратеодорі та вибірковий ймовірністний простір.
  25. Дискретні, абсолютно неперервні та сингулярні випадкові величини. Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли.
  26. Функції від випадкових величин.
  27. Багатовимірні функції розподілу, та їх властивості.
  28. Незалежність випадкових величин. Щільність суми двох незалежних величин.
  29. Математичне сподівання випадкової величини у загальному випадку
  30. Збіжність майже усюди і теорема Лебега
  31. Мультиплікативна властивість математичного сподівання
  32. Формули для обчислення математичного сподівання у загальному випадку.
  33. Гільбертовий простір випадкових величин та нерівність Коші-Буняковського. Властивості коефіцієнта кореляції, збіжність у просторі  .
  34. Характеристичні функції та їх властивості.
  35. Приклади обчислення характеристичних функцій.
  36. Формули обернення для характеристичних функцій.
  37. Слабка збіжність випадкових величин у загальному випадку. Типи збіжності випадкових величин.
  38. Перша і друга теореми Хеллі.
  39. Теорема про неперервну відповідність між функціями розподілу та характеристичними функціями.
  40. Закон величих чисел у формі Хінчина.
  41. Центральна гранична теорема для однаково розподілених незалежних додатків.
  42. Центральна гранична теорема в схемі серій.
  43. Основна ймовірністно-статистична модель експерименту. Поняття вибірки. Приклади.
  44. Емпірична функція розподілу. Теореми про апроксимацію теоретичної функції розподілу за допомогою емпіричної (теореми Глівенко і Колмогорова)
  45. Вибіркові моменти
  46. Статистичні оцінки і загальні вимоги до них. Незсунуті оцінки з рівноміно мінімальною дисперсією.
  47. Теорема про єдиність оптимальної оцінки.
  48. Побудова оптимальної оцінки для моделі Бернуллі.
  49. Нерівність Крамера-Рао та ефективні оцінки.
  50. Оцінки максимальної вірогідності, визначення і приклади. (Метод максимальної вірогідності? --Bunyk 22:29, 26 червня 2010 (UTC))
  51. Теорема про асимптотичну нормальність оцінок максимальної вірогідності. Асимптотична ефективність.
  52. Метод моментів.
  53. Інтервальне оцінювання. Побудова надійних інтервалів за допомогою центральної статистики.
  54. Нормальна модель. Надійний інтервал для середнього, коли відома та невідома дисперсія.
  55. Нормальна модель. Надійний інтервал для дисперсії, коли відоме і невідоме середнє.
  56. Побудова надійних інтервалів на основі оцінок максимальної вірогідності.
  57. Статистичні гіпотези та статистичні критерії. Критерії згоди, загальні поняття.
  58. Гіпотеза про вид розподілу. Критерій   К. Пірсона.
  59. Гіпотеза однорідності. Критерій Смирнова.
  60. Гіпотеза однорідності. Критерій однорідності  .
  61. Гіпотеза незалежності. Критерій незалежності  .
  62. Визначення випадкового процесу і принципи їх класифікації.
  63. Ланцюги Маркова з дискретним часом. Матриця ймовірностей переходу. Рівняння Чепмена-Колмогорова.
  64. Класифікація станів ланцюга Маркова: істотні і неістотні стани, періодичні і неперіодичні стани. Поняття досяжності і сполуки.
  65. Рекурентні та нерекурентні стани. Критерій рекурентності. Теорема про солідарність.
  66. Випадкове блукання в  .
  67. Поняття ергодичного і стаціонарного розподілу. Ергодична теорема для скінченних ланцюгів Маркова.

Теорія ймовірностейРедагувати

  1. Ймовірність. Ймовірнісний простір.
  2. Умовна ймовірність. Формула Байєса, формула повної ймовірності
  3. Схема незалежних випробувань Бернуллі. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.
  4. Геометрична ймовірність
  5. Дискретна випадкова величина. Функція розподілу дискретної випадкової величини.
  6. Математичне сподівання та дисперсія дискретної випадкової величини
  7. Неперервна випадкова величина. Щільність, математичне сподівання, дисперсія, мода, медіана.
  8. Неперервні випадкові величини. Функції від випадкових величин.
  9. Неперервні випадкові величини. Гауссівська випадкова величина. Функція Лапласа
  10. Багатовимірні гауссівські розподіли
  11. Двовимірні випадкові вектори

Математична статистикаРедагувати

Сильно базується на теорії ймовірностей

Зміст приблизно переписано з книжки Математична статистика, В.В. Анісімов, О.І. Черняк. Київ 1995

  1. Основні задачі і поняття математичної статистики
    1. Емпірична функція розподілу
    2. Гістограма та полігон частот.
    3. Порядкові статистики
    4. Вибіркові квантилі
  2. Оцінювання невідомих параметрів розподілів
    1. Класифікація оцінок
    2. Оцінювання параметрів розподілу за допомогою емпіричної функції розподілу.
    3. Вибіркові моменти
  3. Ефективні оцінки. Нерівність Крамера-Рао.
  4. Достатні статистики
  5. Методи оцінювання невідомих параметрів розподілів
    1. Метод моментів
    2. Метод максимальної вірогідності
  6. Деякі спеціальні розподіли математичної статистики
    1. Гамма-розподіл
    2. Розподіл хі-квадрат
    3. Розподіл Стьюдента
  7. Надійні інтервали
  8. Перевірка статистичних гіпотез. Критерії згоди.
  9. Параметричні гіпотези
    1. Критерій перевірки двох простих гіпотез. Лема Неймана-Пірсона.
    2. Критерій Неймана-Пірсона у випадку дискретного розподілу.
  10. Перевірка гіпотез про рівність математичних сподівань, та дисперсій двох нормальних вибірок.
  11. Метод поступового розрізнення простих гіпотез.
  12. Визначення залежностей. Метод найменших квадратів.
    1. Регресія
    2. Лінійна регресія
    3. Множинна лінійна регресія
    4. Оцінка параметрів регресії
  13. Елементи дискримінантного аналізу.
    1. Теорія рішень
    2. Оцінювання параметрів та перевірка гіпотез з позиції теорії рішень.
    3. Задача класифікації спостережень
    4. Класифікація спостережень у випадку двох нормальних класів.

Аналіз данихРедагувати

  1. Опис та підготовка вхідної інформації
    1. Класифікація змінних
    2. Групування даних
    3. Моделювання змінних
      1. Класифікація датчиків випадкових чисел
      2. Програмні датчики та їх властивості
      3. Моделювання дискретних випадкових величин
      4. Моделювання неперервних випадкових величин
  2. Попередня обробка даних
    1. Квантилі та процентні точки розподілу.
    2. Характеристики положення центра значень змінної
    3. Характеристики розсіювання значень змінної
    4. Аналіз скошеності та гостроверхості розподілу
    5. Характеристики випадкових векторів
    6. Перевірка стохастичності вибірки
    7. Рангові критерії однорідності
      1. Випадок двох вибірок
      2. Загальний випадок
    8. Перевірка симетрії розподілу ранговими критеріями.
    9. Визначення рангів у випадку наявності рівних значень.
    10. Видалення аномальних спостережень.
      1. Обробка скалярних вимірів.
      2. Випадок векторних значень.
  3. Розвідувальний аналіз
    1. Сімейства розподілів типу зсув-масштабу
    2. Пробіт-графік. Ймовірністний графік
    3. Візуальні методи перевірки нормальності.
    4. Інші графічні методи.
  4. Кореляційний аналіз
  5. Дисперсійний аналіз
  6. Регресійний аналіз
  7. Коваріаційний аналіз
  8. Дискримінантний аналіз
  9. Кластерний аналіз
  10. Аналіз часових рядів

Чисельні методиРедагувати

  1. Похибка
    1. Похибка арифметичних дій
    2. Особливості машинної реалізації арифметики з плаваючою крапкою. IEEE754.
    3. Довга арифметика
  2. Наближення функцій многочленами. Інтерполяція.
    1. Постановка задачі інтерполювання.
    2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
    3. Інтерполяційний многочлен Ньютона.
    4. Інтерполювання сплайнами
  3. Методи розв’язання нелінійних рівнянь
    1. Метод дихотомії
    2. Метод простої ітерації
    3. Метод релаксації
  4. Методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
    1. Метод квадратного кореня.
    2. Метод прогонки
    3. Метод Гауса — метод, найчастіше застосовуваний при ручному розв’язуванні СЛАР.
    4. Метод Гауса — Зейделя
  5. Чисельне диференціювання
  6. Чисельне інтегрування
  7. ...

Список питань з одної теми...Редагувати

  1. Класифікація формул чисельного інтегрування. Залишковий член квадратурної формули. Алгебраїчний степінь точності КФ.
  2. Побудова формул Ньютона-Котеса.
  3. Квадратурна формула прямокутників. Складена квадратурна формула прямокутників. Алгебраїчний степінь точності КФ прямокутників. #Оцінка залишкового члена КФ прямокутників.
  4. Квадратурна формула трапецій. Складена квадратурна формула трапецій. Алгебраїчний степінь точності КФ трапецій. Оцінка залишкового члена КФ трапецій.
  5. Квадратурна формула Сімпсона. Складена квадратурна формула Сімпсона. Алгебраїчний степінь точності КФ Сімпсона. Оцінка залишкового члена КФ Сімпсона.
  6. Квадратурні формули найвищого алгебраїчного степеня точності (формули Гаусса). Теорема.
  7. Властивості коефіцієнтів Крістофеля.
  8. Оцінка похибки квадратурної формули. Правило Рунне-Ромберга.
  9. Постановка задачі Коші. Класифікація методів. Зведення ЗК для ДР. N-го порядку до системи ЗДР першого порядку.
  10. ЗК стійка, щодо початкових умов.
  11. Визначення стійкості ЗК, щодо початкових умов. Теорема про умови стійкості..
  12. Визначення стійкості ЗК, щодо правої частини. Теорема про умови стійкості.
  13. Визначення стійкості ЗК. Теорема про умови стійкості.
  14. Метод рядів Тейлора для розв’язання ЗК.
  15. Ідея метода Рунне-Кутта.
  16. Метод Ейлера
  17. Побудова формул Рунне-Кутта 2-го порядку точності. Схема предиктор-коректор (модифікований метод ламаних), покращений метод ламаних
  18. Приклад побудови двосторонніх формул Рунне-Кутта 1-го порядку точності
  19. Приклад побудови двосторонніх формул Рунне-Кутта 2-го порядку точності
  20. Формули Рунне-Кутта для системи рівнянь.
  21. Метод Рунне-0Ромберга для оцінки похибки розв’язку ЗК.
  22. Точність одно крокових методів на проміжку інтегрування.
  23. Багатокрокові схеми розв’язання ЗК. Явні, неявні методи. Порядок апроксимації.
  24. Метод невизначених коефіцієнтів побудови багатокрокових схем.
  25. Метод Адамса побудови багатокрокових схем.
  26. Умова коренів. Стійкість однорідних різницевих схем. Теорема.
  27. Стійкість неоднорідних різницевих схем. Теорема.
  28. Постановка крайових задач для ЗДР.
  29. Зведення крайової задачі до послідовності ЗК.
  30. Метод спряжених рівнянь для розв’язування лінійних систем (КрЗ).
  31. Метод формальної заміни похідних скінченнорізницевими відношеннями (КрЗ).
  32. Апроксимація крайових умов. Підвищення порядку точності апроксимації крайових умов.
  33. Метод невизначених коефіцієнтів (КрЗ).
  34. Інтегро-інтерполяційний метод(КрЗ).
  35. Метод апроксимації квадратичного функціонала (КрЗ).
  36. Метод Рітца (КрЗ).
  37. Метод Бубнова –Гальоркіна (КрЗ).
  38. Метод скінчених елементів для КрЗ. Кусково-лінійні базисні функції.
  39. Постановка крайових задач для рівняння Пуассона.
  40. Регулярні та нерегулярні сітки для двовимірного випадку. Класифікація вузлів сітки.
  41. Побудова різницевої схеми для задачі Діріхле для рівняння Пуассона для прямокутної області. Регулярні вузли. Порядок апроксимації.
  42. Побудова різницевої схеми для задачі Діріхле для рівняння Пуассона для прямокутної області. Нерегулярні вузли. Порядок апроксимації.
  43. Апроксимація крайових умов для стаціонарних задач в області довільної форми (двовимірний випадок).

Дослідження операційРедагувати

Також відоме як "Методи оптимізації".

Теорія прийняття рішеньРедагувати

  1. Функція вибору
  2. Функція колективної корисності
    1. Принцип передачі Пігу-Дальтона
    2. Індекси нерівності
  3. Методи обробки експертної інформації
    1. Коефіцієнт конкордації
    2. Умови справедливості колективного вибору
      1. Умова узгодженості Парето
      2. 6 Умов Ерроу
      3. Теорема Ерроу про неможливість.
    3. Методи визначення оцінок
      1. Метод фон Неймана - Моргенштерна
      2. Метод Гермогена - Акофа
  4. Методи голосування
    1. Правило відносної більшості
    2. Правило Кондорсе
    3. Правило де Борда
    4. Правило Копленда
    5. Правило Сімпсона
    6. Загальне правило підрахунку балів
    7. Правило відносної більшості з вибуванням
    8. Теорема Янга
    9. Теорема Мулена
    10. Правило голосування з послідовним виключенням
    11. Правило голосування з паралельним виключенням
  5. Методи розв'язку багатокритеріальних задач
    1. Метод ідеальної точки
    2. Вибір з урахуванням кількості домінуючих критеріїв
    3. Метод послідовних поступок
    4. Метод послідовного вводу обмежень
    5. Метод бажаної точки
  6. Прийняття рішень в умовах ризику й невизначеності
    1. Критерії прийняття рішень в умовах ризику
      1. Критерій Байєса - Лапласа
      2. Критерій мінімізації дисперсії оцінок
      3. Критерій максимізації ймовірності розподілу оцінок
      4. Модальний критерій
    2. Критерії прийняття рішень в умовах невизначеності
      1. Мінімаксний критерій
      2. Критерій мінімаксного ризику Севіджа
      3. Критерій Гурвіца
  7. Конфлікти й компроміси
  8. Прийняття рішень у нечітких умовах

Список питань з СМПР, що виносяться на іспит. Кубик 2010рРедагувати

(Потім відсортувати відповідно до послідовності в якій їх вчать)

  1. Загальна схема прийняття рішень
  2. Діаграма Томаса-Кілмана
  3. Задача колективного прийняття рішень
  4. Утилітаризм та егалітаризм, дилема "рівність-ефективність"
  5. Прийняття рішень в умовах невизначеності (критерії оптимізму, песимізму, Севіджа, Волошина, нейтральний, Неша, Гурвіца).
  6. Прийняття рішень в умовах ризику (критерії Байєса-Лапласа, Гермейєра, модальний, Ходжа-Лемана, розширений Байєса-Лапласа).
  7. Вибір голосуванням, функція колективної переваги, методи голосування (відносна більшість, абсолютна більшість, відносна більшість в два тури, Борда, Кондорсе, Копленда, Сімпсона, послідовного, паралельного виключення)
  8. Властивості методів голосування, парадокси голосування
  9. Парадокс Ерроу
  10. Функції вибору, нормальні функції вибору
  11. Критерій нормальності функції вибору
  12. Класи функцій вибору, теорема Черноффа
  13. Логічна форма функції вибору
  14. Операції над функціями вибору
  15. Властивості функцій вибору
  16. Оптимум Парето, оптимум лексиміна
  17. Конфлікти та компроміси, рівновага в домінуючих стратегіях, недоміновані стратегії, обережні стратегії, складна рівновага.
  18. Рівновага Неша, теорема Неша. Сильна рівновага Неша.
  19. Критерії вибору Нешівських рівноваг
  20. Змішане розширення гри. Змішані рівноваги Неша
  21. Переговорна множина
  22. Рівновага Штакельберга
  23. Кооперативна гра, принцип відокремлення
  24. Вектор Шеплі, теореми Шеплі та Янга
  25. N-ядро
  26. Задача багатокритеріальної оптимізації. Оптимальні за Парето та Слейтером розв'язки
  27. Метод ідеальної точки, послідовних поступок, бажаної точки.
  28. Обробка експертної інформації. Загальна схема експертизи. Методи круглого столу, мозкової атаки, Делфі.
  29. Статистичні методи
  30. Алгебраїчний метод обробки експертної інформації. Медіана Кемені-Снелла.
  31. Нечіткі множини, операції над ними, нечіткі відношення.
  32. Нечіткі задачі багатокритеріальної оптимізації.

МоделіРедагувати

  1. Дилема бандитів
  2. Дилема в'язнів
  3. Праця на себе і на суспільство
  4. Поділ спадщини вдовами
  5. Поділ золотих злитків
  6. Вибір журі з головою
  7. Гра "перехрестя"
  8. Гра "ввічливі водії"
  9. Дуополія Курно
  10. Поділ пирога