Відстань Гаусдорфа

(Перенаправлено з Відстань Хаусдорфа)

Відстань Гаусдорфа — відстань, визначена на всіх замкнених обмежених підмножинах метричного простору. Таким чином, відстань Гаусдорфа перетворює множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору в метричний простір.

Мабуть, перша згадка цієї відстані міститься в книзі Гаусдорфа «Теорія множин», перше видання 1914 року. Двома роками пізніше, та ж відстань описується в книзі Бляшке «Круг і куля», можливо незалежно, тому що не містить посилання на книгу Гаусдорфа.

ОзначенняРедагувати

 
Складові обчислення відстані Гаусдорфа між зеленою лінією X і голубою лінією Y

Нехай   і   дві замкнені обмежені підмножини метричного простору   тоді відстань за Гаусдорфом,  , між   та   є мінімальне число   таке, що замкнутий  -окіл   містить   і також замкнутий  -окіл   містить  .

Іншими словами, якщо   позначає відстань між точками   та   в  , то

 

ВластивостіРедагувати

Нехай   позначає множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору   з відстанню Гаусдорфа:

  • Топологія простору   повністю визначається топологією  .
  • (Теорема Бляшке)   компактно тоді і тільки тоді, коли компактно  .
  •   повно тоді і тільки тоді, коли   повне.

Варіації і узагальненняРедагувати

  • Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх замкнутих підмножин метричного простору, в цьому випадку відстань між деякими підмножинами може дорівнювати нескінченності.
  • Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх підмножин метричного простору. У цьому випадку вона є тільки псевдовідстанню і не є відстанню, так як «відстань» між різними підмножинами може дорівнювати нулю.
  • В евклідовій геометрії, часто застосовується відстань Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Нехай   та   дві компактні підмножини евклідового простору, тоді   визначається як мінімум   за всіма рухами евклідового простору  . Строго кажучи, ця відстань на просторі класів конгруентності компактних підмножин евклідового простору.
  • Відстань Громова-Гаусдорфа аналогічна відстані Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Вона перетворює множину (ізометричних класів) компактних метричних просторів в метричний простір.


ПосиланняРедагувати