Передпорядок (відношення передпорядку) — бінарне відношення в теорії порядку, що є рефлексивним та транзитивним. Зазвичай це відношення позначається тоді аксіоми передпорядку на множині приймають вигляд

Теорія категорійРедагувати

В теорії категорій з поняттям передпорядку пов'язують зазвичай дві категорії: категорію передпорядків й категорії, які називають передпорядками.

ПередпорядкиРедагувати

Категорія   називається передпорядком, якщо для будь-яких двох об'єктів   існує не більше одного морфізму   Якщо   — мала категорія, то на множині її об'єктів можна задати відношення передпорядка за наступним правилом:

 

З аксіом категорії слідує, що таке відношення буде рефлексивним і транзитивним. Передпорядок — це абстрактна категорія, тобто його у загальному випадку не можна представити як категорію деяких множин із заданою структурою і відображеннями, що зберігають цю структуру.

  • Передпорядок — це скелетна категорія.
  • Якщо мала категорія   повна в малому, то вона є предпорядком, причому кожна менша множина його елементів має найбільшу нижню грань.
  • Добуток набору (множини, класу і т. п.) об'єктів предпорядку — це найбільша нижня грань для цього набору. Кодобуток набору об'єктів — це його найменша верхня грань.
  • Початковий об'єкт   у передпорядку  , якщо він існує, — це його найменший об'єкт, так що   Аналогиічно, термінальний об'єкт передпорядку — це найбільший об'єкт у ньому.

Категорія передпорядківРедагувати

Категорія передпорядків позначається зазвичай   Об'єктами категорії передпорядків є передпорядки (в сенсі категорій), зокрема, множини, на яких задані відношення передпорядку. Морфізми в цій категорії — відображення множин, зберігають відношення предпорядку, тобто монотонні відображення. Розглянемо в   підкатегорію малих передпорядків   Це конкретна категорія, наділена очевидним унівалентним забуваючим функтором

 

який зіставляє кожному малому передпорядку множину його об'єктів, а кожному морфізму — монотонне відображення відповідних множин. Цей функтор створює межі в  . Таким чином, аналогічно   початковим об'єктом в   є порожня множина, термінальним об'єктом — множина з одного елементу, добутком об'єктів — прямий добуток відповідних множин з покомпонентним порівнянням, тощо.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Лінійний порядок - це передпорядок на множині, для якого будь-які два елементи множини можна порівняти:
 

Аксіоми передпорядкуРедагувати

  1.   (рефлексивність)
  2. з   та   випливає   (транзитивність)

Пов'язані визначенняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Р. Голдблатт Топоси. Категорний аналіз логіки, — Мир, 1983. — 487 с.
  • С. Маклейн Категорії для працюючого математика, — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.