Вибіркове середнє

Вибіркове (емпіричне) середнє значення — характеристика положення для вибіркового розподілу.

Визначення

Нехай $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ — випадкова вибірка.

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:.

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$.

Властивості вибіркового середнього

• Нехай ${\hat {F}}(x)$ — функція вибіркового розподілу. Тоді для будь-якого фіксованого $\omega \in \Omega$ функція ${\hat {F}}(\omega ,x)$ є (невипадковою) функцією дискретного розподілу.

• Вибіркове середнє — незміщена оцінка теоретичного середнього значення: $\mathbb {E} \left[{\bar {X}}\right]=\mathbb {E} [X_{i}],\quad i=1,\ldots ,n$.

• Вибіркове середнє — строго конзистентна оцінка теоретичного середнього: ${\bar {X}}\to \mathbb {E} [X_{i}]$ майже напевне при $n\to \infty$.

• Вибіркове середнє — асимтотично нормальна оцінка. Нехай дисперсія випадкових величин $X_{i}$ скінченна і ненульова, тобто $\mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty ,\sigma ^{2}\not =0,\;i=1,\ldots ,n$. Тоді ${\sqrt {n}}\left({\bar {X}}-\mathbb {E} [X_{1}]\right)\to \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})$ за розподілом при $n\to \infty$, де $\mathrm {N} (0,\sigma ^{2})$ — нормальний розподіл з середнім $0$ і дисперсією $\sigma ^{2}$.

• Вибіркове середнє з нормальної вибірки — ефективна оцінка її середнього.