Теорема Безу

Теорема Безу — теорема про остачу від ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.

Формулювання

Остача від ділення многочлена $\ P(x)$ на двочлен $(x-a)\,$ дорівнює $P(a)\,$. Також многочлен степеня n над полем C буде мати не більше за n коренів.

Наслідок

• Число a є коренем многочлена $P(x)\,$ тоді й лише тоді, коли $P(x)\,$ ділиться без остачі на двочлен $(x-a)\,$.

Доведення теореми Безу

Якщо ділення многочлена $P(x)\,$ на двочлен $(x-a)\,$ дає остачу $R$ ($R={\mbox{const}}\,$), тоді $P(x)\,$ можна записати у вигляді

$P(x)=(x-a)Q(x)+R\,$,

де $Q(x)\,$ — многочлен нижчого степеня ($\deg Q(x)<\deg P(x)\,$)

Значення $P(x)\,$ в точці $a\,$ дорівнює $P(a)=(a-a)Q(a)+R=R\,$, що й треба довести.

$P(a)=0\,$ (тобто число a є коренем многочлена) тоді й тільки тоді, коли $R=0\,$.

Див. також

• Основна теорема алгебри

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)