Асимптотично еквівалентні системи

Визначення

Асимптотично еквівалентними системами називаються системи диференціальних рівнянь

${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)\quad (1)$

та

${\frac {dy}{dt}}=g(t,y)\quad (2)$,

якщо між їх розв'язками $x(t)$ та $y(t)$ можна встановити взаємно однозначну відповідність таку, що

$\lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0.\quad (3)$

Ознака асимптотичної еквівалентності

Теорема Левінсона

Нехай розв'язки системи

${\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (4)$

де $A$ — постійна $(n\times n)$-матриця, обмежені на $[0,\infty )$. Тоді система

${\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y$,

де $B(t)\in C[0,\infty )$ та $\int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty$ асимптотично еквівалентна системі $\quad (4)$.

В поданій вище формулі $\lVert \cdot \rVert$ позначає норму матриці.

Див. також

• Асимптотична рівність
• Ляпунов Олексій Андрійович
• Теорема Левінсона

Джерела

1. Воскресенский Е. В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений. (рос.)
2. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений, Матем. сб., № 61 (103):1 1963, С 13-39. (рос.)
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)