Алгебричне розширення

Алгебричне розширеннярозширення поля , кожен елемент якого є алгебричним над , тобто існує многочлен з коефіцієнтами з для якого є коренем.

Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.

Властивості ред.

Для всіх трансцендентних елементів   елементи   є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.
  • Для вежі полів  , розширення   — алгебричне, тоді й лише тоді коли   та   є алгебричними.
Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a1…an з L. Оскільки всі ці ai алгебричні над K, то розширення K(a1,…an) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a1,…an) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.
  • Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел  , а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел  , то одержимо поле алгебраїчних чисел A.
  • Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.

Приклади ред.

Див. також ред.

Література ред.