Відкрити головне меню

Алгебрична операція

(Перенаправлено з Алгебраїчна операція)

Алгебричною операцією на множині називається функція яка є відображенням виду де  — декартів добуток в який входить разів.

У цьому визначенні є два важливих моменти. По-перше, оскільки операція є функцією, то результат застосування операції визначено однозначно. Тому даний упорядкований набір з елементів множини функція переводить тільки в один елемент із . По-друге, операція замкнена на у тому розумінні, що область визначення та область значень операції лежать у і відповідно.

Кажуть, що операція має порядок або є -арна операція. Частіше зустрічається ситуація, коли порядок дорівнює або . Операції виду називають унарними, а операції називають бінарними. Елементи упорядкованого набору з елементів в області визначення називають операндами. Операції звичайно позначають символами, що називають операторами. У випадку унарних операції звичайно символ оператора ставлять перед або над операндом.

Види запису операційРедагувати

Розглянемо три варіанти запису бінарної операції складання   і  

  •   — оператор ставиться між операндами:  
  •   — оператор ставиться перед операндами:  
  •   — оператор ставиться після операндів:  


Префіксний та постфіксний способи запису не потребують дужок при визначенні порядку обчислювання складних виразів, і це робить їх особливо зручними для автоматичної обробки. Вони часто використовуються для представлення виразів у пам'яті комп'ютера.

Алгоритм обчислення значень виразу, що записаний у постфіксній форміРедагувати

  1. При перегляді запису зліва направо виконується перша знайдена операція, якій безпосередньо передує достатня для неї кількість операндів.
  2. На місці виконаної операції і використаних для цього операндів у рядок записується результат виконання операції.
  3. Повертаємося до кроку  

ПрикладРедагувати

Маємо вираз: (5 * 6) / ((8 — 3) * (7 + 1) * 4) .
Запишемо його у постфіксній формі: 5 6 * 8 3 — 7 1 + 4 * / .
Тепер ми можемо його розв'язати: 5 6 * 8 3 — 7 1 + 4 * / = 30 8 3 — 7 1 + 4 * / = 30 5 7 1 + 4 * / = 30 5 8 4 * / = 30 120 / = 0,25 .

Властивості операційРедагувати

Нехай дано множину   на якій визначено дві бінарні операції  [1] та  [2]  

КомутативністьРедагувати

Якщо   для всіх   то стверджують, що бінарна операція   на множині   має властивість — комутативність.

АсоціативністьРедагувати

Якщо   для всіх   то стверджують, що бінарна операція   на множині   має властивість — асоціативність.

ДистрибутивністьРедагувати

Якщо   для всіх   то стверджують, що бінарна операція   на множині   має властивість — дистрибутивність відносно операції  

ПрикладРедагувати

Маємо дві бінарні операції: додавання   та віднімання   Перевіримо їх комутативність, асоціативність та дистрибутивність на множині дійсних чисел  

КомутативністьРедагувати

  — операція додавання є комутативною.
  — операція віднімання не є комутативною.

АсоціативністьРедагувати

  — операція додавання є асоціативною.
  — операція віднімання не є асоціативною.

ДистрибутивністьРедагувати

  — операція додавання не є дистрибутивною відносно операції віднімання.
  — операція віднімання не є дистрибутивною відносно операції додавання.

ПриміткиРедагувати

  1. Позначення абстрактної бінарної операції.
  2. Позначення абстрактної бінарної операції.

ДжерелаРедагувати

Бондаренко М. Ф., Білоус Н. В., Руткас А. Г. Комп'ютерна дискретна математика: Підручник. — Харків: «Компанія СМІТ», 2004. С. 73-76. (укр.)