Відкрити головне меню

Аксіоматика Колмогорова — загальноприйнятий аксіоматичний підхід до математичного опису події й імовірності; запропонований Андрієм Миколайовичем Колмогоровим в 1929, остаточно в 1933. Він додав теорії ймовірностей формальний стиль, прийнятий у сучасній математиці.

Історія аксіоматизації теорії імовірностейРедагувати

Проблема аксиоматизації теорії імовірностей включена Д. Гільбертом у формулювання його 6-ої проблеми «Математичний виклад основ фізики»:

  З дослідженнями геометрії тісно зв'язана задача про аксіоматичну побудову по цьому ж зразку тих фізичних дисциплін, у яких уже тепер математика відіграє видатну роль: це в першу чергу теорія імовірностей та механіка. Що стосується аксіом теорії імовірностей, те мені здавалося б бажаним, щоб паралельно з логічним обґрунтуванням цієї теорії йшов рука об руку строгий і задовільний розвиток методу середніх значень у математичній фізиці, зокрема , у кінетичній теорії газів.  

До Колмогорова спроби аксіоматизувати теорію ймовірностей починали Больман, С. Бернштейн, Р. Мізес, а також А. Ломницкий на базі ідей Е. Бореля про зв'язок понять ймовірності і міри.

А. Н. Колмогоров під впливом ідей теорій множин, міри, інтегрування, функцій сформулював просту систему аксіом (яка, щоправда не є єдиною), що дозволила описати вже існуючі на той час класичні розділи теорії імовірностей, дати поштовх розвитку її нових розділів, наприклад, теорії випадкових процесів, і стала загальноприйнятою в сучасній теорії імовірностей.

Аксіоми теорії ймовірностейРедагувати

Елементарна теорія ймовірностей - та частина теорії ймовірностей, в якій доводиться мати справу з ймовірностями лише скінченного числа подій. Теорія ймовірностей, як математична дисципліна, може і повинна бути аксіоматизована абсолютно в тому ж сенсі, як геометрія або алгебра. Це означає, що, після того як дані назви досліджуваних об'єктів та їх основні відношення, а також аксіоми, яким ці відношення повинні підкорюватися, весь подальший виклад повинен ґрунтуватися виключно лише на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів і їх відношень. Аксиоматизація теорії ймовірностей може бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і щодо вибору основних понять і основних співвідношень. Якщо мати на меті можливу простоту як самої системи аксіом, так і побудови на ній подальшої теорії, то представляється найдоцільнішим аксіоматизовані поняття випадкової події та його ймовірності.

ФормуванняРедагувати


Нехай    - множина елементів   , які називаються елементарними подіями, а   - множина підмножин   ,що називаються випадковими подіями (або просто - подіями), а    - простір елементарних подій.

Аксіома I (алгебра подій) .   є алгеброю подій.

Аксіома II (існування ймовірності подій). Кожній події   з   поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число   , яке називається ймовірністю події   .

Аксіома III (нормування ймовірності) .   .

Аксіома IV (адитивність ймовірності) . Якщо події   і   не перетинаються, то :   .

Сукупність об'єктів   , що задовольняє аксіомам I-IV, називається ймовірнісним простором (у Колмогорова: поле ймовірностей).

ЗауваженняРедагувати


Система аксіом I-IV не суперечить сама собі. Це показує наступний приклад:   складається з єдиного елемента   ,   - з   і безлічі неможливих подій (порожньої множинни)   , при цьому   .
Однак ця система аксіом не є повною: в різних питаннях теорії ймовірностей розглядаються різні ймовірнісні простори.

ПосиланняРедагувати

  1. Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник. (укр). К.: ВПЦ "Київський університет". Архів оригіналу за 2007-02-24. Процитовано 2010-06-20.