Міра різноманітності

Міра різноманітності (також індекс різноманітності) — безрозмірний показник, що застосовується в біології для визначення ступеню рівномірності розподілу ознак об'єктів вибірки. Подвійним поняттям для різноманітності є поняття однорідності або концентрації. Міри різноманітності є унарними мірами близькості.
Міри різноманітності є сенс використовувати виключно для оцінки інвентаризаційної різноманітності, тобто різноманітності в середині об'єкту.
Здається, що першою мірою різноманітності, використаною в біології був індекс Шеннона, адаптований Робертом Макартуром для дослідження трофічних мереж :

$H=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}p_{i}$

,

де $p_{i}={x_{i} \over \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ і відповідає числу ознак (наприклад, особин) певного об'єкту (наприклад, виду) у виборці (наприклад, в біоценозі). Теоретично Н-функція набуває максимального значення тоді, коли має місце повна вирівненість розподілу $\log _{2}N$, що відповідає найбільшій різноманітності системи (N – загальне число об'єктів (наприклад, видів в біоценозі)), а мінімальне дорівнює 0. Інколи, щоб позбутися від незвичної для біолога одиниці вимірювання "біт" здійснюють нормування індексу, наприклад так: ${H \over H_{max}}$. Є думка, що індекс Шеннона надає більшого значення рідкісним видам, ніж інші індекси. Для прикладу для орнітофауни сосново-березових лісів південної тайги Уралу значення індексу Шеннона становить від 2,6 до 3. Варто відзначити, що різні міри різноманітності були відомі и до праць К.Шеннона.

Параметричні родини мір різноманітності

Перше узагальнення для мір різноманітності запропонував Альфред Реньї. Формула добре відома математикам як формула ентропії Реньї. Якщо альфа-індекс дорівнює 0 ми одержуємо $\log _{2}N$ (відома як формула Хартлі); при значенні $\alpha \rightarrow 1$ індекс ідентичний індексу Шеннона; при значенні $\alpha \rightarrow \infty$ одержуємо $\log _{2}{1 \over p_{max}}$, де у знаменнику індекс Бергера-Паркера, який визначається як максимум з усіх розглядуваних долей. Активно обговорювалося питання щодо того, яку основу логарифма найкраще застосовувати. Відомі приклади використання в біології логарифмів з основами 2, 10, e. Від проблеми вибору основи логарифма вільна формула Гілла.

На основі формули ентропії Реньї М. Гіллом був запропонований континуум мір вирівненності (evenness) у вигляді уніфікованої формули, визначеної як антилогарифм від ентропії Реньї.

$R_{\alpha }=(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha })^{1 \over 1-\alpha };\alpha \geqslant 0.$

Наведемо приклади для деяких випадків: $R_{0}=N;R_{1}=e^{H};R_{2}={1 \over \sum _{i=1}^{n}p_{i}}$, де в знаменнику індекс Сімпсона. Пізніше, на основі даної формули була створена низка мір: міра Шелдона (Sheldon), міра Хейпа (Heip), міра Алатало (Alatalo), міра Молінарі (Molinari) та ін. Без прив'язки до параметричних родин використовуються такі міри:

• індекс Глізона: ${N \over ln(p_{i})}$;
• індекс Маргалефа: ${N-1 \over lg(p_{i})}$;
• індекс Менхиніка: ${N \over {\sqrt {p}}_{i}}$;
• індекс вирівненності Пілу (інколи Пієлу, або Пієлоу): ${\frac {H}{\log N}}={H \over H_{max}}$. Є по суті нормуванням індексу Шеннона між 0 та 1.

Існують і інші індекси різноманітності, які застосовуються біологами, до речі найпростішим показником різноманітності є видове багатство або число видів.

Міри однорідності (концентрації)

Міри однорідності використовуються значно менше. Тут можна відзначити родину мір концентрації ($Q_{\alpha }$) О.М. Колмогорова. Його міри коеквівалентні до мір родини Гілла як $R_{\alpha }={1 \over Q_{\alpha }}$.

Інформаційні міри різноманітності

Дана група індексів рідко використовується з причини складності обчислення. Найвідомішим індексом цього типу є індекс Бріллюена. Для біологічних досліджень вперше використаний Рамоном Маргалефом:

${1 \over N}\log _{2}{N! \over n_{1}!...n_{S}!}$

Міри різноманітності на основі дескриптивних множин

Міри різноманітності на основі дескриптивних множин були запропоновані Б.І. Сьомкіним в 1971 році, а також Р.Л. Акоффом і Ф.Е. Емері в 1972 році. Наприклад, Б.І. Сьомкін запропонував абсолютну міру різноманітності, що ґрунтувалася на порівнянні досліджуваної вагової множини з еталоном, що має максимальну різноманітність:

$K_{0}(X,X_{max})=m(X\cap X_{max})$,

де $X_{max}=\left\{x_{i},\mu (X_{i})={1 \over n},i=1,...,n\right\}$, X – вагова множина, різноманітність якої визначається; n – число таксонів. Також використовується нормована відносна міра різноманітності:

$R_{S}={n\sum _{i=1}^{n}min(p_{i},{1 \over n})-1 \over n-1}$

Істинна різноманітність

Істинна різноманітність, або ефективна кількість типів, описує кількість однаково чисельних типів потрібних для того аби середня пропорційна чисельність типів дорівнювала спостережуваній в цікавому нам наборі даних (де всі типи можуть не бути однаково чисельними). Істинна різноманітність в наборі даних обчислюється отриманням оберненого до [[середнє степеневе|середнього степеневого M_q−1 пропорційних чисельностей типів в наборі даних. Якщо описати рівнянням:

${}^{q}\!D={1 \over M_{q-1}}={1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{R}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}=\left({\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}}\right)^{1/(1-q)}$

Див. також

• Біорізноманіття
• Коефіцієнт подібності
• Індекс узагальненого біорізноманіття

Посилання

• Індекс видового різноманіття // Словник-довідник з екології : навч.-метод. посіб. / уклад. О. Г. Лановенко, О. О. Остапішина. — Херсон : ПП Вишемирський В. С., 2013. — С. 101.