Відкрити головне меню
Картина інтерференції двох кругових когерентних хвиль, у залежності від довжини хвилі та відстані між джерелами

Інтерфере́нція хвиль (від лат. inter — взаємно, між собою; лат. ferio — вдаряю, вражаю) — явище накладання двох або більше когерентних хвиль, в результаті чого в одних місцях спостерігається підсилення результуючої хвилі (інтерференційний максимум), а в інших місцях послаблення (інтерференційний мінімум).

Загальний описРедагувати

 
Анімація: інтерференція двох хвиль від двох точкових джерел. Максимуми показано блакитним, провали — червоним/жовтим.

Інтерференція спостерігається у когерентних хвиль довільної природи — поверхневих (на воді), поперечних та поздовжніх звукових, електромагнітних (світло, радіохвилі), хвиль де Бройля.

При інтерференції результуюче коливання є геометричною сумою коливань обох хвиль у відповідних точках. Цей принцип суперпозиції як правило є точним і порушується у окремих випадках, в деяких середовищах, коли амплітуда коливань є дуже високою (нелінійна оптика, нелінійна акустика[fr]).

Найпростішим випадком інтерференції є накладання двох гармонічних хвиль з однаковою частотою і поляризацією. В такому випадку результуюча амплітуда А вираховується за формулою:

 ,

де   та   — амплітуди відповідних хвиль,   — різниця фаз цих хвиль.

ВикористанняРедагувати

Явище інтерференції використовується, наприклад, в радіотехніці і акустиці для створення складних антен. Особливо велике значення інтерференція має в оптиці, вона лежить в основі оптичної та акустичної голографії.

Модель інтерференції немонохроматичних хвиль Захар'євськогоРедагувати

Модель одновимірної хвиліРедагувати

В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x, можна подати в такому вигляді:

 ,

де   — змінна часу,   — амплітуда коливання,   — період коливань,   — швидкість розповсюдження коливань вздовж осі x. Хвиля може також характеризуватися кутовою частотою:

 ,

де   -довжина хвилі. Можна також ввести хвильовий вектор (число) у вигляді:

 .

Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна також подати у вигляді:

 ,

де   — фаза хвилі.

Модель інтерференції монохроматичної хвиліРедагувати

Розглянемо монохроматичну хвилю з кутовою частотою  , ширина якої рівна нулю

 .

В рамках моделі інтерференції Захар'євського[1] розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах інтерферометра:

 
 

Сумарну хвилю можна подати у вигляді:

 ,

де різниця фаз двох коливань буде:

 ,

де   — різниця ходу двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:

 
 .

Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:

 .

Кути   та   пов'язані між собою таким чином:

 /

В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:

 

Оскільки енергія коливань залежить від квадрату амплітуди, тому для нас важливо з’ясувати можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо такі значення:

 
 

де   — ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрату модуля амплітуди тут буде:

 .

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрату амплітуди

 

ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

 
 .

Часто буває, що амплітуди коливань є однакові  . Тоді сумарна амплітуда буде:

 

її максимальне значення  , а мінімальне —  . Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань бере участь у створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

Геометрична модельРедагувати

Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включає в себе два дзеркала Френеля[2], розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається шириною смуги і позначається символом  . Якщо  -а смуга знаходиться від центру поля на відстані  , то для неї різниця ходу рівна

 ,

де  - відстань між двома когерентними джерелами світла, а  - база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої   -ї смугк, яка знаходиться від центру поля на відстані  , маємо

 .

Очевидно, що різниця   рівна ширині смуги, звідки знаходимо

 .

Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії ( ), залежить від довжини хвилі падаючих хвиль.

Модель двох близьких частотРедагувати

В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ширина лінії спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ширини лінії. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:

 .

Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:

 
 .

У випадку рівності амплітуд   та фаз   сумарне значення двох хвиль буде:

 

Середнє значення часто ми можемо розглядати як несучу частоту:

 ,

а різницю частот

 

як модуляційну частоту. Тут ми можемо також ввести поняття амплітуда модуляції

 .

Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде

 .

Модель інтерференції зі скінченною шириною частотного спектруРедагувати

Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:

 .

Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі  , а модуляційні — вздовж осі  . Кутові частоти тут будуть

 
 .

Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:

 
 .

Оскільки  , тому

 .

Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в ( ) — площині. Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:

 .

У випадку інтерференції його можна розглядати, як коефіцієнт підсилення двомірної інтерференції:

 .

Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:

 
 .

де

 
 

а   - різниця ходу вздовж осі  . Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:

 

Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:

 
 

Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:

 

де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:

 
 

Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

 
 

де   - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрату модуля амплітуди тут буде:

 .

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрату амплітуди

 ,

тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

 
 .

Геометрична модель модуляційної інтерференціїРедагувати

Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношення для модульованої різниці ходу:

 ,

а також співвідношення між ширинами смуг:

 .

Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі   з частотою   та модуляційних коливань вздовж осі   з частотою  . Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини смуги) маємо:

 .

Оскільки ми можемо спостерігати «підсилені» ширини смуг   (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато «непідсилених» смуг  , а це означає що  .

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою   має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот   різниця порядків інтерференції   та   повинна бути малим числом:

 

Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:

 

або

 .

Цей вираз також може переписати у формі:

 ,

де  , а  . Якщо як джерело світла взяти водневу лампу, для якої  нм та  нм, тоді

 ,

тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де  нм та  нм, ми будемо мати велике число:

 .

Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для лазерних променів з конечним значенням ширини спектру, або натрієвої лампи ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль  . Проте, у випадку «білого світла» або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим  . Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину смуги:

 

при  . Тому "зміщення ширини смуги" має вигляд:

 .

Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини смуги буде:

 

при  . Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:

 

де  .

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Захарьевский А. Н. Интерферометры. — М. : Гос. изд. оборонной промышленности, 1952. — 296 с.
  2. Fresnel, Augustin «On the Action of Rays of Polarized Light upon Each Other», The Wave Theory of Light – Memoirs by Huygens, Young and Fresnel. — С. 79–156. — American Book Company, 1819.

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати