Інтегрорізницеве рівняння

Інтегрорізницеве рівняння — рекурентне співвідношення у просторі функцій, яке має такий вигляд:

$n_{t+1}(x)=\int _{\Omega }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,$

де $\{n_{t}\}\,$ — певна послідовність у функціональному просторі $\Omega \,$ — область значень цих функцій. У більшості видів застосувань для будь-яких $y\in \Omega \,$, $k(x,y)\,$ — це функція густини ймовірності на $\Omega \,$. Важливо зазначити, що у цьому визначенні $n_{t}$ може бути вектором, в цьому випадку кожен його елемент $\{n_{t}\}$ є скалярною величиною.

Застосування у теоретичній біології

Інтегродиференційні рівняння широко застосовуються в математичній біології, особливо в теоретичній екології для моделювання розповсюдження (дисперсії) організмів і росту чисельності популяцій. В цьому випадку, $n_{t}(x)$ — це чисельність або густина особин в популяції в ділянці простору $x$ в час $t$, $f(n_{t}(x))$ описує локальний ріст чисельності (густини популяції) в точці простору $x$ і $k(x,y)$, — це ймовірність переходу з точки $y$ до точки $x$. Ця величина ще називається зерном розповсюдження (англ. dispersal kernel). Інтегрорізницеві рівняння дуже часто використовуються для опису популяцій з одним поколінням за рік (наприклад, такими є популяції багатьох членистоногих, однорічних рослин). Однак, популяції з багатьма поколіннями за рік можуть також моделюватись з допомогою інтегрорізницевих рівнянь , але за умови якщо покоління цього організму не перекриваються. В цьому випадку час $t$ виражається не в роках, а в періодах між поколінями.

Інші підходи до моделювання динаміки чисельності популяцій у просторі

Інші види рівнянь, які використовуються для моделювання динаміки чисельності популяцій в просторі включають реакційно-дифузійні рівняння і метапопуляційні рівняння. Однак для дифузійних рівнянь складно включити чітко патерни розповсюдження, тому ці рівняння біологічно релевантні тільки для моделювання популяцій з поколіннями, що перекриваються. . Метапопуляційні рівняння відрізняються від інтегрорізницевих рівнянь, тому що вони розглядають простір ареалу пуляції дискретно, а не неперервно як в інтегрорізницевих рівняннях.