Ізольована точка кривої

Ізольована точка кривої (англ. acnode) — тип особливої точки, координати якої задовольняють рівняння алгебричної кривої.^[1]

Ізольована точка у початку координат (крива описана в тексті статті)

Ізольовані точки зазвичай знаходять при вивченні плоских алгебричних кривих над не алгебрично замкнутими полями, які визначаються як множина нулів багаточлена від двох змінних. Наприклад, рівняння

f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0\;

має ізольовану точку у початку координат $\mathbb {R} ^{2}$ , оскільки воно еквівалентно

y^{2}=x^{2}(x-1)

а $x^{2}(x-1)$ невід'ємне при $x$ ≥ 1 або $x=0$ . Таким чином, над полем дійсних чисел рівняння не має розв'язків для $x<1$ , за винятком (0, 0).

На відміну від дійсного поля рівняння над полем комплексних чисел не має ізольованої точки на початку координат, оскільки квадратний корінь з від'ємних чисел існує.

Ізольована точка є особливою точкою функції: обидві частинні похідні ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ і ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ обертаються в цій точці в нуль. Більш того матриця Гессе других похідних буде додатньо або від'ємно визначена.

Примітки ред.

↑ Hazewinkel, M. (2001), «Acnode [Архівовано 10 листопада 2014 у Wayback Machine.]», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Література ред.

Ian Porteous. Geometric Differentation. — Cambridge University Press, 1994. — ISBN 0-521-39063-X.

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] Hazewinkel, M. (2001), «Acnode [Архівовано 10 листопада 2014 у Wayback Machine.]», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1]