Єгипетський математичний шкіряний сувій

Єгипетський математичний шкіряний сувій (ЄМШС) — 25 × 43  см шкіряний сувій, придбаний Олександром Райндом у 1858 році. Він був надісланий до Британського музею в 1864 році разом з математичним папірусом Райнда, але він не був хімічно розм’якшеним і розгорнутим до 1927 року.

Зберігається у Британському музеї в Лондоні. Датований близько 1650 р. до н. е. Походить з Фів. Написаний ієратичним письмом. Довжина — 25 см, ширина — 43 см.

Написаний цей сувій справа наліво ієратичними знаками Середнього царства. Його датують до 17 століття до н. e.

Математичний зміст

Шкіряний сувій є невеликим довідником з обчислення єгипетських дробів. Він містить 26 сум одиничних дробів, які дорівнюють іншому одиничному дробу. Суми дробів подано у чотирьох стовпцях, причому зміст 3-й та 4-й стовпців дублює зміст 1-го та 2-го.

Єгипетський математичний шкіряний сувій

Column 1	Column 2	Column 3	Column 4
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$
${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$
${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$
${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$	${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$	${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}$		${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$		${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$		${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$
${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$		${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$		${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$
${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$		${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$
${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$		${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$
${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$		${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$
		${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$
		${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$

З 26 перерахованих сум десять виражають числа «Ока Гора» : 1/2, 1/4 (двічі), 1/8 (тричі), 1/16 (двічі), 1/32, 1/64, перетворені з єгипетських дробів. Сім інших сум виражають одиничні дроби з парними знаменниками: 1/6 (перераховані двічі, але неправильно один раз), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 та 1/30. Як приклад, три перетворення 1/8 йшли одне за одним з одним або двома масштабними коефіцієнтами:

1. ${\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {3}{3}}={\frac {3}{24}}={\frac {2+1}{24}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}.$

2. ${\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {5}{5}}={\frac {5}{40}}={\frac {4+1}{40}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}.$

3. ${\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {25}{25}}={\frac {25}{200}}={\frac {8+17}{200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {17}{200}}\cdot {\frac {6}{6}}={\frac {1}{25}}+{\frac {102}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {80+16+6}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}.$

Нарешті, дев'ять сум виражають одиничні дроби з непарними знаменниками: 2/3, 1/3 (двічі), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 та 1/15.

Експерти Британського музею не знайшли вступу та опису того, як або чому було обчислено низку еквівалентних одиничних дробів. Еквівалентні єгипетські дроби виражають дроби 1/3, 1/4, 1/8 та 1/16. Сума дробів, які виражають 1/15 була помилково зазначена як рівна 1/6. Ще одна серйозна помилка була пов'язана з 1/13, проблемою, яку експерти 1927 року не намагалися розв'язати.

Сучасний аналіз

Оригінальні математичні тексти ніколи не містять пояснень, звідки взялися процедури та формули. Це правдиво і для ЄМШС. Науковці намагалися визначити, якими методами стародавні єгиптяни могли скористатися як таблиці одиничних дробів ЄМШС, так і 2 / n таблиць, відомих з математичного папіруса Райнда та Лахунського математичного папіруса. Обидва типи таблиць використовувались для обчислень з дробами та для перетворення вимірювальних одиниць.

Було помічено, що в ЄМШС є групи дуже схожих сум одиничних дробів. Наприклад, 5-й та 6-й рядки легко поєднуються в рівняння 1/3   +   1/6   =   1/2. Вивести рядки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 і 26 легко, поділивши це рівняння на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 і 32 відповідно.

Деякі задачі можна розв'язати за допомогою алгоритму, який передбачає множення чисельника і знаменника дробу на одне й те саме число

${\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N}{pq}},$

розкладу 2-го множника на суму одиничних дробів та подальшого домноження кожного дробу на 1-й множник

Скажімо, за цим методом можна розкласти дріб 1/8, як показано в ЄМШС, для N = 25 (з використанням сучасних математичних позначень):

$1/8=1/25\times 25/8=1/5\times 25/40=1/5\times (3/5+1/40)$

$=1/5\times (1/5+2/5+1/40)=1/5\times (1/5+1/3+1/15+1/40)=1/25+1/15+1/75+1/200$

Сучасні висновки

ЄМШС уважають навчальним посібником для майбутні писарів. Писар практикував перетворення раціональних чисел 1 / p та 1 / pq на суму одиничних дробів.

Хронологія

Наступна хронологія показує етапи чіткішого розуміння вмісту ЄМШС, пов'язаного з таблицею $2/n$ математичного папіруса Райнда.

• 1895 – Hultsch припустив, що всі серії таблиці $2/n$ кодуються аликвотними частинами.
• 1927 р. – Glanville дійшов висновку, що арифметика ЄМШС суто адитивна.
• 1929 – Vogel повідомив, що ЄМШС є важливішим (ніж RMP), хоча він містить лише 25 сум одиничних дробів.
• 1950 – Bruins незалежно підтверджує аналіз Hultsch $2/n$ (Bruins 1950)
• 1972 р. – Gillings простіші задачі, серії $2/(pq)$ (Gillings 1972: 95 – 96).
• 1982 рік – Knorr визначає дроби 2/35, 2/91 та 2/95 як винятки із задачі $2/(pq)$.
• 2002 – Gardner виділяє п'ять моделей для ЄМШС.

Див. також

• Московський математичний папірус
• Лахунські математичні папіруси
• Берлінський папірус 6619Берлінський папірус 6619
• Дерев'яні таблички Ахміма
• Папірус Рейснера
• Папірус Райнда

Подальше читання

• Bruckheimer, M., & Salomon, Y. (1977). Some comments on R. J. Gillings’ analysis of the 2/n Table in the Rhind papyrus. Historia Mathematica, 4, 445–452.
• Bruins, E. M. (1957). Platon et la table égyptienne 2/n. Janus, 46, 253–263.
• Bruins, E. M. (1981). Egyptian arithmetic. Janus, 68, 33–52.
• Bruins, E. M. (1981). Reducible and trivial decompositions concerning Egyptian arithmetics”. Janus, 68, 281–297.
• Gardner, M. (2005). Mathematical roll of Egypt. In Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer.
• Gillings, R. J. (1962). The Egyptian Mathematical Leather Roll. Australian Journal of Science, 24, 339–344.
• Gillings, R. J. (1974). The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How did the Ancient Egyptian scribe prepare it? Archive for History of Exact Sciences, 12, 291–298.
• Gillings, R. J. (1979). The recto of the RMP and the EMLR. Historia Mathematica, 6 (1979), 442–447.
• Gillings, R. J. (1981). The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How did the scribe do it? Historia Mathematica, 456–457.
• Imhausen, A. (2003). Egyptian mathematical texts and their contexts. Science in Context, 16, 367–389.
• Rees, C. S. (1981). Egyptian fractions. Mathematical Chronicle, 10, 13–33.
• Roero, C. S. (1994). Egyptian mathematics. In I. Grattan-Guinness (Ed.) Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, (pp. 30–45). London.
• Scott, A., & Hall, H.R. (1927). Laboratory notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC. British Museum Quarterly, 2, 56.

Зовнішні посилання

• EMLR [Архівовано 27 червня 2020 у Wayback Machine.]
• EMLR [Архівовано 27 червня 2020 у Wayback Machine.]
• EMLR [Архівовано 23 січня 2021 у Wayback Machine.]