Числовий ряд

Версія від 14:03, 13 жовтня 2007, створена Alex Green (обговорення | внесок) (Нова сторінка: Категорія:Математичний аналіз == Означення == Нехай <math>\{a_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> — деяка послід...)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)


Означення

Нехай   — деяка послідовність дійсних чисел. Для кожного   визначена скінченна сума цих елементів

 .

Дві числові послідовності   та   називаються числовим рядом и позначаються

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle a_{1} + a_{2} + \cdots +a_{n} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}} .    (1)

Число   називається n-тим членом, а число  n-тою частковою сумою ряду (1). Якщо числова послідовність часткових сум   збігається до деякого дійсного числа  , то числовий ряд (1) називається збіжним, а число  сумою цього ряду, позначається

 .

Якщо послідовність   скінченої границі не має, то числовий ряд (1) називається розбіжним.

Теорема 01

Якщо числовий ряд

 

збігається, то

 ,  

Доведення.   Дійсно, оскільки  ,   та  ,  , то  ,  .  

Теорема 02

Якщо числовий ряд

 

збігається, то

 ,  

Доведення.   Розглянемо  ,  .  

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови сбіжності ряду (1).

Приклад 01

Ряди

 ,    (2)
     (3)

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно,  ,   у випадку ряду (1) та   у випадку ряду (2).

Література

  • Дороговцев А. Я. Математический анализ: Справочное пособие. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.
  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4. Советская энциклопедия, 1984.