Відкрити головне меню

Функція Гевісайда

Версія від 15:25, 11 серпня 2009, створена IhorLviv (обговорення | внесок) (Створена сторінка: 325px|thumb|Функція Хевісайда з ''H''(0) = ½ '''Функція Хевісайда''', ''H'',  - це...)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Функція Хевісайда з H(0) = ½

Функція Хевісайда, H,  - це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатніх значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Хевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Хевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.

Функція Хевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати.

В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.

Зміст

Дискретна форма

Функцію Хевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

 

де n  - ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Хевісайда:

 

і виконується рівність:

 


Аналітичні апроксимації

Для наближення функції Хевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

 ,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

 

Існують і інші наближення, зокрема:

 
 


Інтегральне представлення

Функція Хевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

 

H(0)

Серед найбільш поширених значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ or H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

 

Іноді також використовується загальний запис:

 

Первісна і похідна

Первісною функцією для функції Хевісайда є:   де за визначенням:

 

Похідною функції Хевісайда є дельта-функція Дірака:  

Див. також