Відкрити головне меню

Функція Гевісайда

Версія від 02:46, 1 листопада 2015, створена Munzik (обговорення | внесок)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Функція Гевісайда з H(0) = ½

Функція Гевісайда, H,  — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатніх значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Гевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Гевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.

Функція Гевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати.

В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.

Зміст

Дискретна формаРедагувати

Функцію Гевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

 

де n  — ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Гевісайда:

 

і виконується рівність:

 

Аналітичні апроксимаціїРедагувати

Для наближення функції Гевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

 ,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

 

Існують і інші наближення, зокрема:

 
 

Інтегральне представленняРедагувати

Функція Гевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

 

H(0)Редагувати

Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ or H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

 

Іноді також використовується загальний запис:

 

Первісна і похіднаРедагувати

Первісною функцією для функції Гевісайда є:   де за визначенням:

 

Похідною функції Гевісайда є дельта-функція Дірака:  

Див. такожРедагувати