Теорія Редже (метод полюсів Редже, метод комплексних кутових моментів) — метод описання та дослідження розсіяння елементарних частинок в квантовій механіці та квантовій теорії поля, що ґрунтується на формальному аналітичному продовженні парціальних амплітуд з області фізичних значень моменту імпульсу в область комплексних значень . Метод запровадив італійський фізик Туліо Редже при вивченні аналітичних властивостей квантовомеханічної амплітуди розсіяння.

Суть теорії Редже

Теорія Редже виникла при дослідженні потенціального розсіювання в квантовій механіці. Основна ідея полягала в тому, що квантові числа кутового моменту в загальному випадку можуть набувати комплексних значень, тоді парціальну амплітуду   інтерполюють до функції  , яка для цілих значень   збігається з  . Для певного типу потенціалів (наприклад, юкавського потенціалу) сингулярності   виявляються[1] простими полюсами (полюси Редже), що змінюють місце знаходження в комплексній площині кутового моменту зі зміною енергії. Їхнє розташування визначається зі співвідношення   де   — функція енергії, що називається траєкторією Редже (може бути представлена як функція кінематичних змінних Мандельштама,  ). Кожній сім'ї резонансів, а також набору зв'язаних станів відповідає одна траєкторія Редже. Ідея Редже було успішно розвинуто в рамках фізики високих енергій[2].

Зокрема, при певних не дуже великих  , де   дійсна, цілочисельні значення   відповідають стабільним зв'язаним станам. При великих  , що перевищують границю суцільного спектру (кінетична енергія частинки додатня), функція   стає комплексною:  . Тоді дійсна частина продовжує визначати положення тепер вже резонансного рівня, а уявна частина пропорційна повній ширині рівня, тобто визначає час життя резонансу.

У теорії  -матриці немає рівняння Шредінгера, тож не можна отримати амплітуду розсіяння таким шляхом, як у квантовій механіці, звідки безпосередньо можна було б вивчати її аналітичні властивості. Отже, існування полюсів Редже насправді є припущенням, але це припущення дозволяє розв'язувати деякі проблеми теорії і, що найголовніше, підтверджується великою кількістю феноменологічних спостережень[3].

Якщо застосовувати ідею Редже до теорії релятивістської  -матриці, можна показати, зробивши ряд припущень, що релятивістську парціальну амплітуду   можна аналітично продовжити до комплексних значень   і при тому єдиним способом. Отримана фунцкія   має прості полюси (першопочаткове припущення) при   Кожен полюс дає внесок в амплітуду розсіяння, який асимптотично (  при фіксованому  ) поводиться як

 

Тобто сингулярність, що має найбільшу дійсну частину (основна сингулярність) в  -каналі визначає асимптотичне поводження амплітуди розсіяння в  -каналі. Насправді, в теорії Редже, що застосовується в теорії  -матриці, вигляд сингулярностей складніший, аніж прості полюси (наприклад, наявність таких сингулярностей, як розрізи, які значно ускладнюють теорію Редже).

Кросинг

Основним принципом кросингу є те, що з однієї і тієї ж функції   аналітично продовженої в три фізичні області значень кінематичних змінних отримується амплітуда розсіяння для відповідної області, де   пов'язані як

 
Таке твердження виявляється правильним для діаграм Фейнмана, де, наприклад, для реакцій   і   для опису використовується одна і та ж діаграма Фейнмана. Кросингова симетрія є наслідком аналітичних властивостей амплітуди. Припустімо, що є процес

 
амплітуду можна записати у вигляді  , лишаючи    для симетрії, але пам'ятаючи, що вона не є незалежною змінною. Фізичною областю для вищенаписаного процесу є область, де  . В загальному випадку основна частина фізичної області по   і   має обмеження  . Амплітуда може бути аналітично проджена в область   і  , в такій області матимемо амплітуду для процесу в  -каналі
 
де   і   античастинки відповідно для   і  . Таким чином, для амплітуд існуватиме рівність

 

Полюси Редже в квантовій механіці

У квантовій механіці теорія Редже застосовна тільки до певного класу потенціалів, до них є дві умови:

 
Тоді парціальна амплітуда, продовжена в комплексну площину кутового моменту, запишеться так
 

де   так звана функція Йоста[1]. Важливий клас потенціалів, що мають вищезазначені властивості записується у вигляді узагальненого потенціалу Юкави

 
Для   цей потенціал збігається з потенціалом Юкави в його початковій формі, яку використовув Юкава
 
Амплітуда розсіяння в борнівському наближенні, що відповідає цьому потенціалу, має вигляд  , в якій   і яка подібна на амплітуду обміну скалярним мезоном. Таким чином, взаємодія при потенціалах юкавського типу має схожість із взаємодією в теорії  -матриці.

Функції Йоста мають такі аналітичні властивості[4] : перше — для   сингулярностями   як функції   є скінченна кількість простих полюсів, друге — амплітуда   прямує експотенціально до нуля при  , коли  .

Таким чином, задовольняються всі умови щодо аналітичного продовження функції   , яку до того ж може бути продовжено єдиним способом. Далі можна отримати представлення Ватсона-Зомерфельда для   і фіксованої енергії  , амплітуда розсіяння поводиться як

 
де   — це домінантна траєкторія Редже,   — лишок полюсу Редже,   Зрозуміло, що вираз   не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як  , а вона вже має фізичний зміст.

За наявності обмінної взаємодії у виразі для амплітуди з'являється множник  . У цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, оскільки при   цей множник вносить розбіжність в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна зняти, якщо ввести ще одне додаткове квантове число — сигнатуру.

У квантовій механіці множник   з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди.

Полюси Редже в релятивістській квантовій теорії

Можна показати, що для парціальної амплітуди для випадку релятивистської квантової теорії можливе представлення Фруассара-Грибова, вводячи нове квантове число — сигнатуру, яка приймає два значення  , можна переписати амплітуду із визначеною сигнатурою, що має «гарну» поведінку при  :

 

де сумування по полюсах із визначеною сигнатурою і   Повна амплітуда тоді

 

при великих значеннях  , враховуючи тільки крайній правий полюс,

 
що збігається з основним виразом для полюсу домінантного вкладу в амплітуди розсіяння траєкторії Редже   , тільки додатково із сигнатурним множником  .

Див. також

Примітки

  1. а б В. де Альфаро, Т.Редже (1966). Потенциальное рассеяние. Москва: Изд. "Мир". с. 275. 
  2. Chew, Geoffrey F.; Frautschi, S. C. (1961-11-15). Principle of Equivalence for all Strongly Interacting Particles within the $S$-Matrix Framework. Physical Review Letters 7 (10). с. 394–397. doi:10.1103/PhysRevLett.7.394. Процитовано 2016-04-19. 
  3. V.Barone, E.Predazzi (2002). High-energy particle diffraction. Berlin: Springer. с. 410. 
  4. Bottino, A.; Longoni, A. M.; Regge, T. (2007-10-25). Potential scattering for complex energy and angular momentum. Il Nuovo Cimento (1955-1965) (en) 23 (6). с. 954–1004. ISSN 1827-6121. doi:10.1007/BF02731254. Процитовано 2016-04-19. 

Література

  • Ширков Д. В., Свойства траекторий полюсов Редже, «УФН», 1970, т. 102, в. 1
  • Коллинз П. Д. Б., Сквайр Э. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971
  • Regge Т., Introduction to complex· orbital momenta, «Nuovo Cim.», 1959, v. 14, p. 951
  • R.J. Eden, Regge poles and elementary particles, Rep. Prog. Phys. 34 995—1053 (1971)
  • A.C. Irving, R.P. Worden, Regge phenomenology, Phys.Rept. 34, 117—231 (1977)