Теорема про первісний елемент — твердження в теорії полів, розділі математики, що дає необхідні і достатні умови для того щоб скінченне розширення було простим.

Зміст

Твердження теоремиРедагувати

Нехай   і   довільні поля, і   скінченне розширення поля  . Розширення є простим тоді і тільки тоді, якщо кількість полів   таких що   є скінченною.

ДоведенняРедагувати

Нехай   і  поля, і степінь розширення   — скінченне число. Припустимо  . Оскільки розширення   — скінченне, то елемент  є алгебраїчним над  . Нехай   — мінімальний многочлен   над  . Позначимо поле   таке що   і   — мінімальний многочлен елемента   над  . Якщо   — поле породжене коефіцієнтами многочлена   то мінімальним многочленом   над   теж є   і  . Згідно з властивостями мінімального многочлена, оскільки  , маємо  , отже:   Оскільки  , звідси випливає  . Тобто довільне проміжне поле   відповідає полю породженому коефіцієнтами деякого дільника многочлена   зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці. Оскільки многочлен   має скінченну кількість таких дільників, існує лише скінченна кількість таких підполів  , що містять  .

Нехай навпаки існує скінченна кількість таких полів  . Якщо   є скінченним полем, тоді скінченним є і поле  , і всі такі розширення породжуються одним елементом. Припустимо тепер, що   (і також  ) є нескінченним полем. Нехай   - базис   над  . Тоді  . Для доведення достатньо розглянути випадок двох елементів. Загальний випадок тоді одержується за допомогою математичної індукції. Отже візьмемо  . Розглянемо множину елементів   для  . Згідно з припущенням, ця множина є нескінченною, проте існує лише скінченна кількість полів між   і  ; відповідно деякі два елементи породжують одне розширення   поля  , наприклад   і  . Це поле   містить

 

І

 

Отже взявши  , одержуємо

 

Сепарабельні розширенняРедагувати

Важливим наслідком теореми є факт, що довільне скінченне сепарабельне розширення є простим.

Для несепарабельних розширень, це твердження може не виконуватися. Характеристика таких розширень рівна деякому простому числу p. Розглянемо, наприклад поле K:

Fp(TU),

визначене як поле раціональних функцій із змінними T і U і коефіцієнтами в скінченному полі Fp з p елементами. Нехай L розширення поля, породжене додаванням до K кореня степеня p елементів T і U. Тоді розширення L/K є скінченним розширенням степеня p2, отже такий же степінь має мати мінімальний многочлен первісного елемента. Проте для довільного  , елемент αp належить K.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати